Korelasi Product Moment

Apa Itu Korelasi Product Moment?

Korelasi Product Moment, yang sering juga disebut Korelasi Pearson atau cukup dilambangkan dengan $r$, adalah ukuran statistik yang paling umum digunakan untuk mengetahui seberapa kuat dan ke mana arah hubungan linear (pola garis lurus) antara dua variabel kuantitatif (angka).

Nilai $r$ ini akan memberi tahu kita apakah kedua variabel bergerak searah (positif), berlawanan arah (negatif), atau tidak ada hubungan linear sama sekali.

Korelasi dari Diagram Pencar

Cara paling intuitif memahami nilai $r$ adalah dengan melihat bagaimana titik-titik data tersebar pada diagram pencar:

Korelasi Positif Kuat

$r$ mendekati +1 berarti kedua variabel cenderung bergerak ke arah yang sama.

Jika titik-titik data kamu terlihat seperti ini (naik dari kiri bawah ke kanan atas dan sangat rapat membentuk garis), nilai $r$-nya akan mendekati +1.

Korelasi Positif Lemah

$r$ positif tapi mendekati 0 berarti kedua variabel cenderung bergerak ke arah yang sama, tapi tidak terlalu kuat.

Kalau titik-titiknya masih menunjukkan kecenderungan naik tapi lebih menyebar seperti ini, nilai $r$-nya positif, tapi lebih kecil (mendekati 0).

Korelasi Negatif Kuat

$r$ mendekati -1 berarti kedua variabel cenderung bergerak ke arah yang berlawanan.

Jika titik-titiknya turun dari kiri atas ke kanan bawah dan sangat rapat, nilai $r$-nya akan mendekati -1.

Tidak Ada Korelasi Linear

$r$ mendekati 0 berarti kedua variabel tidak memiliki hubungan linear.

Ketika titik-titik menyebar acak tanpa pola lurus yang jelas, nilai $r$-nya akan mendekati 0.

Bagaimana Menghitung r?

Koefisien korelasi Pearson ($r$) pada dasarnya mengukur seberapa sinkron pergerakan dua variabel (X dan Y) relatif terhadap variasi masing-masing.

Bayangkan begini:

1. Variasi Sendiri:

   Setiap variabel (X dan Y) punya variasinya sendiri. Ada yang nilainya naik-turun banyak (variasi besar), ada yang stabil (variasi kecil). Ini diukur oleh $SS_{xx}$ untuk X dan $SS_{yy}$ untuk Y (yang akan kita lihat rumusnya di bawah).

2. Variasi Bersama (Kovariasi):

   Kita juga perlu tahu bagaimana X dan Y bervariasi bersama-sama. Apakah saat X naik, Y juga cenderung naik? Atau malah turun? Ukuran variasi bersama ini disebut kovariasi, dan dihitung menggunakan $SS_{xy}$.

   • Jika $SS_{xy}$ positif besar: X dan Y sering bergerak searah.
   • Jika $SS_{xy}$ negatif besar: X dan Y sering bergerak berlawanan arah.
   • Jika $SS_{xy}$ dekat nol: Tidak ada pola pergerakan bersama yang jelas.

3. Menstandarkan Ukuran:

   Masalahnya, nilai $SS_{xy}$ (kovariasi) ini sangat dipengaruhi oleh satuan data. Misalnya, kovariasi antara tinggi (cm) dan berat (kg) akan punya nilai yang berbeda jika kita ukur tinggi dalam meter dan berat dalam gram, meskipun hubungannya sama.

   Untuk mengatasi ini, kita perlu menstandarkan ukuran kovariasi. Caranya adalah dengan membagi kovariasi ($SS_{xy}$) dengan ukuran variasi masing-masing variabel (yang sudah disesuaikan dalam bentuk akar kuadrat: $\sqrt{SS_{xx} SS_{yy}}$).

   $$r = \frac{\text{Seberapa banyak X dan Y bervariasi bersama}}{\text{Ukuran standar dari variasi X dan Y masing-masing}} = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} SS_{yy}}}$$

Hasil pembagian inilah yang menjadi $r$, Koefisien Korelasi Pearson. Karena sudah distandarkan, nilainya akan selalu antara -1 dan +1, tidak peduli satuan asli datanya. Ini memungkinkan kita membandingkan kekuatan hubungan linear antar variabel yang berbeda-beda.

Jadi, nilai $r$ ditentukan dengan membandingkan seberapa kuat X dan Y bergerak bersama, relatif terhadap seberapa banyak mereka bergerak secara individual.

Rumus Korelasi Product Moment

Untuk menghitung nilai $r$ secara pasti, kita gunakan rumus yang melibatkan Jumlah Kuadrat (Sum of Squares):

Apa itu $SS_{xy}$, $SS_{xx}$, dan $SS_{yy}$?

Ini adalah cara mengukur seberapa bervariasi data kita:

1. $SS_{xx}$ (Sum of Squares for x): Mengukur seberapa menyebar data x dari rata-ratanya.

   $$SS_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2 = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}$$

2. $SS_{yy}$ (Sum of Squares for y): Mengukur seberapa menyebar data y dari rata-ratanya.

   $$SS_{yy} = \sum (y - \bar{y})^2 = \sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}$$

3. $SS_{xy}$ (Sum of Products of deviations for x and y): Mengukur bagaimana x dan y bervariasi bersama-sama.

   $$SS_{xy} = \sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = \sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}$$

Keterangan:

• $n$: Banyaknya pasangan data (x, y).
• $\sum x$, $\sum y$: Jumlah semua nilai x dan y.
• $\sum x^2$, $\sum y^2$: Jumlah kuadrat dari setiap nilai x dan y.
• $\sum xy$: Jumlah dari hasil kali setiap pasangan x dan y.
• $\bar{x}$, $\bar{y}$: Rata-rata nilai x dan y.

Dengan menghitung ketiga nilai SS ini dan memasukkannya ke rumus $r$, kita akan mendapatkan nilai Koefisien Korelasi Product Moment.

Interpretasi Nilai r

Setelah mendapatkan nilai $r$, kita bisa interpretasikan kekuatannya dan arahnya menggunakan panduan umum berikut: