Sifat Fungsi Invers

Sifat Komposisi dengan Invers

Sifat ini adalah inti dari definisi fungsi invers: fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya, dan sebaliknya. Jika kita mengkomposisikan suatu fungsi dengan inversnya (dalam urutan apapun), kita akan mendapatkan fungsi identitas $I(x) = x$.

1. Komposisi $f$ dengan $f^{-1}$:

   $$(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x$$

   Ini berlaku untuk semua $x$ dalam domain $f^{-1}$ (yang merupakan range dari $f$).

2. Komposisi $f^{-1}$ dengan $f$:

   $$(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x$$

   Ini berlaku untuk semua $x$ dalam domain $f$.

Contoh:

Kita tahu bahwa jika $f(x) = 2x + 3$, maka inversnya adalah $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$. Mari kita verifikasi sifat komposisi:

• $f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = (x - 3) + 3 = x$
• $f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x$

Kedua komposisi menghasilkan $x$, sesuai dengan sifatnya.

Sifat Invers dari Invers

Jika kita mencari invers dari suatu fungsi invers, kita akan kembali ke fungsi aslinya.

Ini masuk akal karena proses mencari invers adalah proses "membalikkan". Jika kita membalikkan sesuatu dua kali, kita akan kembali ke keadaan semula.

Sifat Invers dari Komposisi Fungsi

Jika kita memiliki komposisi dua fungsi yang keduanya memiliki invers, invers dari komposisi tersebut adalah komposisi dari invers-inversnya, tetapi dalam urutan terbalik.

Misalkan $f$ dan $g$ adalah dua fungsi yang memiliki invers $f^{-1}$ dan $g^{-1}$. Maka invers dari komposisi $f \circ g$ adalah:

Perhatikan urutannya terbalik: $g^{-1}$ diterapkan terlebih dahulu, baru $f^{-1}$.

Analogi: Bayangkan memakai kaos kaki ($g$) lalu sepatu ($f$). Untuk membatalkannya (inversnya), kamu harus melepas sepatu ($f^{-1}$) dulu, baru melepas kaos kaki ($g^{-1}$). Urutannya dibalik.

Contoh:

Misalkan $f(x) = x + 1$ (inversnya $f^{-1}(x) = x - 1$) dan $g(x) = 3x$ (inversnya $g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$).

1. Cari $(f \circ g)(x)$:

   $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 3x + 1$$

2. Cari invers dari $(f \circ g)(x)$:

   Misalkan $y = 3x + 1$. Tukar $x$ dan $y$: $x = 3y + 1$.

   Selesaikan untuk $y$: $x - 1 = 3y \implies y = \frac{x - 1}{3}$.

   Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$.

3. Cari $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$:

   $$(g^{-1} \circ f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}(x - 1)$$

   $$g^{-1}(x - 1) = \frac{x - 1}{3}$$

Karena hasil dari langkah 2 dan 3 sama, terbukti bahwa $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$.

Hubungan Domain dan Range

Domain dari fungsi asli $f$ menjadi range dari fungsi inversnya $f^{-1}$, dan range dari fungsi asli $f$ menjadi domain dari fungsi inversnya $f^{-1}$.