Fungsi Invers

Memahami Fungsi Invers

Kalian pasti sering menerjemahkan kata atau kalimat dari Bahasa Inggris ke Bahasa Indonesia, misalnya saat menonton film atau membaca berita. Proses menerjemahkan ini mirip dengan cara kerja sebuah fungsi: ada masukan (kata Bahasa Inggris) dan keluaran (kata Bahasa Indonesia).

Perhatikan ilustrasi berikut:

Di sini, "Mesin Penerjemah" bertindak seperti fungsi yang mengubah "Mathematics" (masukan) menjadi "Matematika" (keluaran).

Sekarang, bagaimana jika kita ingin melakukan kebalikannya? Menerjemahkan "Matematika" kembali menjadi "Mathematics"?

Proses kebalikan inilah yang menjadi dasar konsep fungsi invers.

Definisi Fungsi Invers

Fungsi invers, atau fungsi kebalikan, adalah fungsi yang "membalikkan" operasi dari suatu fungsi awal. Jika fungsi $f$ memetakan elemen $x$ dari domain $A$ ke elemen $y$ di kodomain $B$, maka fungsi inversnya, yang dinotasikan sebagai $f^{-1}$ (dibaca "f invers"), akan memetakan elemen $y$ dari $B$ kembali ke elemen $x$ di $A$.

Secara matematis:

Dengan kata lain, jika $f$ mengubah $x$ menjadi $y$, maka $f^{-1}$ mengubah $y$ kembali menjadi $x$. Fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya.

Penting: Notasi $f^{-1}(x)$ bukan berarti $\frac{1}{f(x)}$ (kebalikan perkalian atau resiprokal). Ini adalah notasi khusus untuk fungsi invers.

Syarat Fungsi Memiliki Invers

Tidak semua fungsi memiliki fungsi invers. Agar suatu fungsi $f$ memiliki fungsi invers $f^{-1}$, fungsi $f$ tersebut haruslah fungsi bijektif. Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat injektif (satu-ke-satu) dan surjektif (pada) sekaligus.

• Injektif (Satu-ke-satu): Setiap elemen berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda di kodomain. Tidak ada dua input berbeda yang menghasilkan output yang sama.
• Surjektif (Pada): Setiap elemen di kodomain merupakan hasil pemetaan dari setidaknya satu elemen di domain. Semua output mungkin terjadi.

Jika fungsi $f$ bukan bijektif, maka relasi kebalikannya mungkin ada, tetapi relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

Menentukan Rumus Fungsi Invers

Untuk mencari rumus fungsi invers $f^{-1}(x)$ dari suatu fungsi $f(x)$, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Ganti $f(x)$ dengan $y$.
2. Tukar posisi variabel $x$ dan $y$ dalam persamaan.
3. Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan $y$ dalam bentuk $x$.
4. Ganti $y$ dengan $f^{-1}(x)$ untuk mendapatkan rumus fungsi invers.

Contoh:

Tentukan fungsi invers dari $f(x) = 2x + 3$.

1. Ganti $f(x)$ dengan $y$:

   $$y = 2x + 3$$

2. Tukar $x$ dan $y$:

   $$x = 2y + 3$$

3. Selesaikan untuk $y$:

   $$x - 3 = 2y$$

   $$\frac{x - 3}{2} = y$$

4. Ganti $y$ dengan $f^{-1}(x)$:

   $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

Jadi, fungsi invers dari $f(x) = 2x + 3$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$.

Grafik Fungsi dan Inversnya

Grafik fungsi invers $f^{-1}(x)$ merupakan pencerminan (refleksi) dari grafik fungsi aslinya $f(x)$ terhadap garis $y = x$.

Sebagai contoh, mari kita lihat grafik dari $f(x) = 2x + 3$, inversnya $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$, dan garis identitas $y=x$.