Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Mengenal Sifat-sifat Pemetaan Fungsi

Dalam matematika, fungsi memetakan elemen dari satu himpunan (domain) ke himpunan lain (kodomain). Cara pemetaan ini bisa diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan bagaimana elemen domain dan kodomain dihubungkan. Tiga jenis utama adalah fungsi injektif, surjektif, dan bijektif.

Misalkan kita memiliki fungsi $f: X \to Y$.

Fungsi Injektif (Satu-ke-Satu)

Sebuah fungsi disebut injektif atau satu-ke-satu jika setiap elemen yang berbeda di domain $X$ dipetakan ke elemen yang berbeda pula di kodomain $Y$. Dengan kata lain, tidak boleh ada dua elemen domain berbeda yang memiliki hasil pemetaan (bayangan) yang sama di kodomain.

Definisi Formal:

Fungsi $f: X \to Y$ adalah injektif jika untuk setiap $x_1, x_2 \in X$, berlaku:

Atau, secara ekuivalen (menggunakan kontraposisi):

Analogi: Bayangkan setiap siswa di kelas (domain) harus memiliki nomor induk siswa (kodomain) yang unik. Tidak boleh ada dua siswa yang nomor induknya sama. Fungsi pemetaan dari siswa ke nomor induk ini adalah fungsi injektif.

Contoh:

• Fungsi $f(x) = 2x$ untuk $x \in \mathbb{R}$ adalah injektif, karena setiap nilai $x$ yang berbeda akan menghasilkan $2x$ yang berbeda.
• Fungsi $g(x) = x^2$ untuk $x \in \mathbb{R}$ bukan injektif, karena $g(2) = 4$ dan $g(-2) = 4$. Ada dua input berbeda ($2$ dan $-2$) yang menghasilkan output yang sama ($4$).

Fungsi Surjektif (Pada / Onto)

Sebuah fungsi disebut surjektif atau pada (onto) jika setiap elemen di kodomain $Y$ merupakan hasil pemetaan (bayangan) dari setidaknya satu elemen di domain $X$. Dengan kata lain, tidak ada elemen di kodomain yang "tidak terjangkau" atau tidak memiliki pasangan di domain. Range (daerah hasil) dari fungsi surjektif sama dengan kodomainnya.

Definisi Formal:

Fungsi $f: X \to Y$ adalah surjektif jika untuk setiap $y \in Y$, terdapat setidaknya satu $x \in X$ sehingga:

Analogi: Bayangkan setiap kursi di bioskop (kodomain) harus terisi oleh setidaknya satu penonton (domain) saat pemutaran film dimulai. Fungsi pemetaan dari penonton ke kursi adalah surjektif jika semua kursi terisi.

Contoh:

• Fungsi $f(x) = x^3$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah surjektif, karena setiap bilangan real $y$ di kodomain adalah hasil pangkat tiga dari suatu bilangan real $x$ (yaitu $x = \sqrt[3]{y}$).
• Fungsi $g(x) = x^2$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bukan surjektif, karena tidak ada bilangan real $x$ yang menghasilkan $g(x) = -1$ (atau bilangan negatif lainnya). Elemen negatif di kodomain tidak memiliki pasangan di domain.
• Namun, jika kita batasi kodomainnya menjadi $g(x) = x^2$ dari $\mathbb{R} \to [0, \infty)$ (bilangan real non-negatif), maka fungsi ini menjadi surjektif.

Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-ke-Satu)

Sebuah fungsi disebut bijektif jika ia bersifat injektif dan surjektif sekaligus. Artinya, setiap elemen di domain dipetakan ke elemen yang unik di kodomain, dan setiap elemen di kodomain memiliki tepat satu pasangan elemen di domain.

Fungsi bijektif menciptakan korespondensi satu-ke-satu yang sempurna antara elemen domain dan kodomain.

Definisi Formal:

Fungsi $f: X \to Y$ adalah bijektif jika untuk setiap $y \in Y$, terdapat tepat satu $x \in X$ sehingga:

Analogi: Bayangkan perjodohan sempurna antara sejumlah pria (domain) dan sejumlah wanita (kodomain) yang jumlahnya sama. Setiap pria dipasangkan dengan tepat satu wanita unik, dan setiap wanita dipasangkan dengan tepat satu pria unik. Fungsi pemetaan perjodohan ini adalah bijektif.

Penting: Fungsi hanya bisa memiliki fungsi invers jika fungsi tersebut bersifat bijektif.

Contoh:

• Fungsi $f(x) = 2x$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah bijektif (injektif dan surjektif).
• Fungsi $f(x) = x^3$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah bijektif (injektif dan surjektif).
• Fungsi $g(x) = x^2$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bukan bijektif (tidak injektif dan tidak surjektif).
• Fungsi $h(x) = e^x$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bukan bijektif (injektif tapi tidak surjektif).
• Fungsi $k(x) = x^3 - x$ dari $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bukan bijektif (surjektif tapi tidak injektif).