Sifat Komposisi Fungsi

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi, yaitu menggabungkan fungsi secara berurutan, memiliki beberapa sifat penting yang perlu kita ketahui. Mari kita pelajari sifat-sifat ini dengan menggunakan contoh fungsi berikut:

Sifat Tidak Komutatif

Sifat pertama dan yang paling sering ditemui adalah bahwa urutan dalam mengkomposisikan fungsi itu penting. Mengubah urutan fungsi biasanya akan menghasilkan fungsi komposisi yang berbeda.

Secara umum, $(f \circ g)(x)$ tidak sama dengan $(g \circ f)(x)$.

Contoh:

Mari kita bandingkan $(g \circ f)(x)$ dan $(f \circ g)(x)$.

1. Menghitung $(g \circ f)(x)$:

   $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1)$$

   $$g(2x+1) = (2x+1)^2 + 4 = (4x^2 + 4x + 1) + 4 = 4x^2 + 4x + 5$$

2. Menghitung $(f \circ g)(x)$:

   $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2+4)$$

   $$f(x^2+4) = 2(x^2+4) + 1 = (2x^2 + 8) + 1 = 2x^2 + 9$$

Karena $4x^2 + 4x + 5 \neq 2x^2 + 9$, maka terbukti bahwa $(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$. Sifat ini berlaku juga untuk komposisi lain, misalnya $(f \circ h)(x) \neq (h \circ f)(x)$ dan $(g \circ h)(x) \neq (h \circ g)(x)$.

Sifat Asosiatif

Jika kita mengkomposisikan tiga fungsi atau lebih, urutan pengerjaan komposisinya tidak mempengaruhi hasil akhir, asalkan urutan fungsinya tetap sama.

Secara matematis, untuk fungsi $f$, $g$, dan $h$, berlaku:

Ini berarti, kita bisa mengkomposisikan $f$ dengan $g$ terlebih dahulu, baru hasilnya dikomposisikan dengan $h$. Atau, kita bisa mengkomposisikan $g$ dengan $h$ terlebih dahulu, baru $f$ dikomposisikan dengan hasilnya. Hasilnya akan sama.

Contoh:

Mari kita cek apakah $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.

1. Menghitung $((f \circ g) \circ h)(x)$:

   Kita sudah tahu $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 9$.

   $$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(\frac{1}{x+1})$$

   $$(f \circ g)(\frac{1}{x+1}) = 2\left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 9 = \frac{2}{(x+1)^2} + 9$$

2. Menghitung $(f \circ (g \circ h))(x)$:

   Pertama, cari $(g \circ h)(x)$:

   $$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\frac{1}{x+1})$$

   $$g(\frac{1}{x+1}) = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 4 = \frac{1}{(x+1)^2} + 4$$

   Sekarang, komposisikan $f$ dengan hasil ini:

   $$(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right)$$

   $$f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) = 2\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) + 1 = \frac{2}{(x+1)^2} + 8 + 1 = \frac{2}{(x+1)^2} + 9$$

Karena hasil keduanya sama ($\frac{2}{(x+1)^2} + 9$), maka terbukti sifat asosiatif berlaku: $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.

Sifat asosiatif ini berlaku untuk kombinasi urutan fungsi lainnya juga, seperti $((h \circ f) \circ g)(x) = (h \circ (f \circ g))(x)$ dan $((g \circ f) \circ h)(x) = (g \circ (f \circ h))(x)$.

Elemen Identitas

Ada sebuah fungsi khusus yang disebut fungsi identitas, dilambangkan dengan $I(x)$, yang didefinisikan sebagai $I(x) = x$. Fungsi ini tidak mengubah inputnya.

Jika fungsi $f$ dikomposisikan dengan fungsi identitas $I$ (baik dari kiri maupun kanan), hasilnya adalah fungsi $f$ itu sendiri.

Contoh:

Dengan $f(x) = 2x + 1$:

• $(f \circ I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1$
• $(I \circ f)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1$

Keduanya menghasilkan fungsi $f(x)$ kembali.