Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Bilangan Kompleks

Sifat Perkalian Bilangan Kompleks

Sifat-Sifat Operasi Perkalian

Sama seperti operasi hitung pada bilangan real, operasi perkalian pada bilangan kompleks juga memiliki beberapa sifat penting. Misalkan z1,z2,z_1, z_2, dan z3z_3 adalah sembarang bilangan kompleks.

Komutatif

Sifat komutatif berarti urutan dalam perkalian dua bilangan kompleks tidak mempengaruhi hasilnya.

z1×z2=z2×z1z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1

Contoh:

Misal z1=1+2iz_1 = 1+2i dan z2=3−iz_2 = 3-i.

z1×z2=(1+2i)(3−i)=1(3−i)+2i(3−i)=3−i+6i−2i2=3+5i−2(−1)=5+5iz_1 \times z_2 = (1+2i)(3-i) = 1(3-i) + 2i(3-i) = 3-i+6i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i
z2×z1=(3−i)(1+2i)=3(1+2i)−i(1+2i)=3+6i−i−2i2=3+5i−2(−1)=5+5iz_2 \times z_1 = (3-i)(1+2i) = 3(1+2i) - i(1+2i) = 3+6i-i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i

Terbukti hasilnya sama.

Asosiatif

Sifat asosiatif menyatakan bahwa saat mengalikan tiga bilangan kompleks atau lebih, pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil.

(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)

Contoh:

Misal z1=iz_1 = i, z2=2z_2 = 2, dan z3=3−iz_3 = 3-i.

(z1×z2)×z3=(i×2)×(3−i)=2i(3−i)=6i−2i2=6i−2(−1)=2+6i(z_1 \times z_2) \times z_3 = (i \times 2) \times (3-i) = 2i(3-i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i
z1×(z2×z3)=i×(2×(3−i))=i×(6−2i)=6i−2i2=6i−2(−1)=2+6iz_1 \times (z_2 \times z_3) = i \times (2 \times (3-i)) = i \times (6-2i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i

Terbukti hasilnya sama.

Identitas Perkalian

Bilangan kompleks 1=1+0i1 = 1+0i adalah elemen identitas untuk perkalian. Artinya, bilangan kompleks apapun yang dikalikan dengan 1 hasilnya adalah bilangan kompleks itu sendiri.

z×1=z=1×zz \times 1 = z = 1 \times z

Contoh:

Misal z=4−7iz = 4-7i.

z×1=(4−7i)(1+0i)=4(1)−(−7)(0)+i(4(0)+(−7)(1))=4−7i=zz \times 1 = (4-7i)(1+0i) = 4(1) - (-7)(0) + i(4(0) + (-7)(1)) = 4 - 7i = z
1×z=(1+0i)(4−7i)=1(4)−(0)(−7)+i(1(−7)+0(4))=4−7i=z1 \times z = (1+0i)(4-7i) = 1(4) - (0)(-7) + i(1(-7) + 0(4)) = 4 - 7i = z

Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

Sifat ini menghubungkan operasi perkalian dan penjumlahan bilangan kompleks.

z1×(z2+z3)=(z1×z2)+(z1×z3)z_1 \times (z_2 + z_3) = (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)

Contoh:

Misal z1=2z_1=2, z2=1+iz_2 = 1+i, z3=3−2iz_3 = 3-2i.

z1×(z2+z3)=2×((1+i)+(3−2i))=2×(1+3+i−2i)=2×(4−i)=8−2iz_1 \times (z_2 + z_3) = 2 \times ((1+i) + (3-2i)) = 2 \times (1+3 + i-2i) = 2 \times (4-i) = 8-2i
(z1×z2)+(z1×z3)=(2(1+i))+(2(3−2i))=(2+2i)+(6−4i)=(2+6)+(2i−4i)=8−2i(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) = (2(1+i)) + (2(3-2i)) = (2+2i) + (6-4i) = (2+6) + (2i-4i) = 8-2i

Terbukti hasilnya sama.

Contoh Pembuktian Menggunakan Sifat

Kita bisa membuktikan beberapa identitas aljabar menggunakan sifat-sifat ini. Mari kita buktikan bahwa (z1+z2)2=z12+2z1z2+z22(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2 untuk sembarang z1,z2z_1, z_2.

(z1+z2)2=(z1+z2)(z1+z2)(Definisi kuadrat)(z_1 + z_2)^2 = (z_1 + z_2)(z_1 + z_2) \quad \text{(Definisi kuadrat)}
=z1(z1+z2)+z2(z1+z2)(Sifat Distributif)= z_1(z_1 + z_2) + z_2(z_1 + z_2) \quad \text{(Sifat Distributif)}
=(z1z1+z1z2)+(z2z1+z2z2)(Sifat Distributif)= (z_1z_1 + z_1z_2) + (z_2z_1 + z_2z_2) \quad \text{(Sifat Distributif)}
=z12+z1z2+z2z1+z22(Definisi kuadrat)= z_1^2 + z_1z_2 + z_2z_1 + z_2^2 \quad \text{(Definisi kuadrat)}
=z12+z1z2+z1z2+z22(Sifat Komutatif: z2z1=z1z2)= z_1^2 + z_1z_2 + z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Sifat Komutatif: } z_2z_1 = z_1z_2)
=z12+2z1z2+z22(Penggabungan suku sejenis)= z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Penggabungan suku sejenis)}

Invers Perkalian

Setiap bilangan kompleks z=x+iy≠0z = x + iy \neq 0 memiliki invers perkalian, dinotasikan sebagai z−1z^{-1} atau 1/z1/z, sedemikian sehingga z×z−1=1z \times z^{-1} = 1.

Misalkan z−1=u+ivz^{-1} = u + iv. Maka:

z×z−1=1z \times z^{-1} = 1
(x+iy)(u+iv)=1+0i(x+iy)(u+iv) = 1 + 0i
(xu−yv)+i(xv+uy)=1+0i(xu - yv) + i(xv + uy) = 1 + 0i

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh sistem persamaan:

  1. xu−yv=1xu - yv = 1
  2. xv+uy=0xv + uy = 0

Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini (misalnya dengan mengalikan persamaan 1 dengan xx, persamaan 2 dengan yy, lalu menjumlahkannya, dan metode substitusi), kita akan dapatkan:

u=xx2+y2u = \frac{x}{x^2+y^2}
v=−yx2+y2v = -\frac{y}{x^2+y^2}

Jadi, invers perkalian dari z=x+iyz = x+iy adalah:

z−1=xx2+y2−iyx2+y2z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Perhatikan bahwa x2+y2=∣z∣2x^2+y^2 = |z|^2 dan x−iy=zˉx-iy = \bar{z}. Maka rumus invers bisa juga ditulis sebagai:

z−1=zˉ∣z∣2z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}
Sebelumnya

Perkalian Bilangan Kompleks

Selanjutnya

Invers Bilangan Kompleks