Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Bilangan Kompleks

Perkalian Bilangan Kompleks

Mengalikan Dua Bilangan Kompleks

Mengalikan dua bilangan kompleks mirip seperti mengalikan dua bentuk aljabar binomial. Kita bisa menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Mari kita lihat bagaimana cara mengalikan z1=x1+iy1z_1 = x_1 + iy_1 dengan z2=x2+iy2z_2 = x_2 + iy_2.

z1×z2=(x1+iy1)(x2+iy2)z_1 \times z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2)
=x1(x2+iy2)+iy1(x2+iy2)= x_1(x_2 + iy_2) + iy_1(x_2 + iy_2)
=(x1x2+ix1y2)+(ix2y1+i2y1y2)= (x_1x_2 + ix_1y_2) + (ix_2y_1 + i^2y_1y_2)

Ingat bahwa i2=−1i^2 = -1, jadi kita bisa substitusi:

=(x1x2+ix1y2)+(ix2y1+(−1)y1y2)= (x_1x_2 + ix_1y_2) + (ix_2y_1 + (-1)y_1y_2)
=x1x2+ix1y2+ix2y1−y1y2= x_1x_2 + ix_1y_2 + ix_2y_1 - y_1y_2

Sekarang, kita kelompokkan bagian real dan bagian imajiner:

=(x1x2−y1y2)+(ix1y2+ix2y1)= (x_1x_2 - y_1y_2) + (ix_1y_2 + ix_2y_1)
=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)= (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)

Jadi, rumus umum untuk perkalian bilangan kompleks adalah:

z1×z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)

Contoh Perhitungan

Misalkan z1=2+iz_1 = 2+i dan z2=1−2iz_2 = 1-2i. Tentukan z1×z2z_1 \times z_2.

Penyelesaian:

Menggunakan sifat distributif:

z1×z2=(2+i)(1−2i)z_1 \times z_2 = (2+i)(1-2i)
=2(1−2i)+i(1−2i)= 2(1-2i) + i(1-2i)
=(2−4i)+(i−2i2)= (2 - 4i) + (i - 2i^2)
=(2−4i)+(i−2(−1))(karena i2=−1)= (2 - 4i) + (i - 2(-1)) \quad \text{(karena } i^2 = -1)
=(2−4i)+(i+2)= (2 - 4i) + (i + 2)
=(2+2)+(−4i+i)= (2+2) + (-4i + i)
=4−3i= 4 - 3i

Atau menggunakan rumus umum dengan x1=2,y1=1,x2=1,y2=−2x_1 = 2, y_1 = 1, x_2 = 1, y_2 = -2:

z1×z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)
=(2)(1)−(1)(−2)+i((2)(−2)+(1)(1))= (2)(1) - (1)(-2) + i((2)(-2) + (1)(1))
=(2−(−2))+i(−4+1)= (2 - (-2)) + i(-4 + 1)
=(2+2)+i(−3)= (2+2) + i(-3)
=4−3i= 4 - 3i

Hasilnya sama!

Visualisasi Perkalian Bilangan Kompleks
Visualisasi dari z1=2+iz_1 = 2+i (biru), z2=1−2iz_2 = 1-2i (hijau), dan hasil perkaliannya z1×z2=4−3iz_1 \times z_2 = 4-3i (merah).

Latihan

Misalkan z1=1+iz_1 = 1+i dan z2=12−2iz_2 = \frac{1}{2} - 2i. Tentukan z1×z2z_1 \times z_2.

Kunci Jawaban

Menggunakan sifat distributif:

z1×z2=(1+i)(12−2i)z_1 \times z_2 = (1+i)(\frac{1}{2} - 2i)
=1(12−2i)+i(12−2i)= 1(\frac{1}{2} - 2i) + i(\frac{1}{2} - 2i)
=(12−2i)+(12i−2i2)= (\frac{1}{2} - 2i) + (\frac{1}{2}i - 2i^2)
=(12−2i)+(12i−2(−1))= (\frac{1}{2} - 2i) + (\frac{1}{2}i - 2(-1))
=(12−2i)+(12i+2)= (\frac{1}{2} - 2i) + (\frac{1}{2}i + 2)
=(12+2)+(−2i+12i)= (\frac{1}{2} + 2) + (-2i + \frac{1}{2}i)
=(12+42)+(−42i+12i)= (\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) + (-\frac{4}{2}i + \frac{1}{2}i)
=52−32i= \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i

Menggunakan rumus umum dengan x1=1,y1=1,x2=12,y2=−2x_1 = 1, y_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2}, y_2 = -2:

z1×z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)
=((1)(12)−(1)(−2))+i((1)(−2)+(12)(1))= ((1)(\frac{1}{2}) - (1)(-2)) + i((1)(-2) + (\frac{1}{2})(1))
=(12−(−2))+i(−2+12)= (\frac{1}{2} - (-2)) + i(-2 + \frac{1}{2})
=(12+2)+i(−42+12)= (\frac{1}{2} + 2) + i(-\frac{4}{2} + \frac{1}{2})
=(12+42)+i(−32)= (\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) + i(-\frac{3}{2})
=52−32i= \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i
Sebelumnya

Perkalian Skalar Bilangan Kompleks

Selanjutnya

Sifat Perkalian Bilangan Kompleks