Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Bilangan Kompleks

Invers Bilangan Kompleks

Apa itu Invers Bilangan Kompleks?

Setiap bilangan kompleks tak nol z=x+iyz = x + iy memiliki teman "kebalikan" yang disebut invers perkalian (atau invers saja), yang kita tulis sebagai z−1z^{-1} atau 1/z1/z.

Ciri khas dari invers perkalian adalah jika kita kalikan bilangan kompleks zz dengan inversnya z−1z^{-1}, hasilnya adalah 1 (elemen identitas perkalian).

z×z−1=1z \times z^{-1} = 1

Menemukan Rumus Invers

Kita sudah tahu dari materi sifat perkalian bilangan kompleks bahwa untuk z=x+iyz = x + iy, inversnya adalah:

z−1=xx2+y2−iyx2+y2z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Rumus ini bisa juga ditulis sebagai pasangan terurut:

z−1=(xx2+y2,−yx2+y2)z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)

Ingat juga bentuk lain yang sering berguna, menggunakan konjugat (zˉ=x−iy\bar{z} = x-iy) dan modulus (∣z∣2=x2+y2|z|^2 = x^2+y^2):

z−1=zˉ∣z∣2z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Contoh Perhitungan Invers

Misalkan diberikan bilangan kompleks z=1−iz = 1 - i. Tentukan inversnya!

Penyelesaian:

Di sini, x=1x=1 dan y=−1y=-1.

Menggunakan rumus pertama:

x2+y2=(1)2+(−1)2=1+1=2x^2+y^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2
z−1=xx2+y2−iyx2+y2z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
=12−i−12= \frac{1}{2} - i\frac{-1}{2}
=12+12i= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

Menggunakan rumus konjugat dan modulus:

zˉ=1−(−1)i=1+i\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i
∣z∣2=x2+y2=12+(−1)2=2|z|^2 = x^2+y^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2
z−1=zˉ∣z∣2=1+i2=12+12iz^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

Hasilnya sama, yaitu:

z−1=12+12i atau (12,12)z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{ atau } \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
Visualisasi zz dan z−1z^{-1}
Visualisasi dari z=1−iz = 1-i dan inversnya z−1=12+12iz^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i. Perhatikan bagaimana posisi mereka relatif terhadap titik asal.

Latihan

Diberikan bilangan kompleks z1=1−iz_1 = 1-i dan z2=2+3iz_2 = 2+3i. Tentukan invers dari z1+z2z_1 + z_2.

Kunci Jawaban

Langkah 1: Cari z1+z2z_1 + z_2.

z=z1+z2=(1−i)+(2+3i)=(1+2)+(−1+3)i=3+2iz = z_1 + z_2 = (1-i) + (2+3i) = (1+2) + (-1+3)i = 3+2i

Langkah 2: Cari invers dari z=3+2iz = 3+2i. Di sini x=3x=3 dan y=2y=2. Kita gunakan rumus z−1=zˉ∣z∣2z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}.

zˉ=3−2i\bar{z} = 3-2i
∣z∣2=x2+y2=32+22=9+4=13|z|^2 = x^2+y^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
z−1=3−2i13=313−213iz^{-1} = \frac{3-2i}{13} = \frac{3}{13} - \frac{2}{13}i

Jadi, invers dari z1+z2z_1 + z_2 adalah 313−213i\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i.

Sebelumnya

Sifat Perkalian Bilangan Kompleks

Selanjutnya

Konjugat Bilangan Kompleks