Konjugat Bilangan Kompleks

Apa itu Konjugat Bilangan Kompleks?

Setiap bilangan kompleks $z = x + iy$ memiliki "pasangan" yang disebut konjugat (atau sekawan). Konjugat dari $z$ ditulis dengan simbol $\bar{z}$.

Cara mendapatkan konjugat sangat mudah: ubah tanda bagian imajinernya saja.

Definisi Formal

Jika $z = x + iy$ adalah suatu bilangan kompleks, dengan $x$ sebagai bagian real dan $y$ sebagai bagian imajiner, maka konjugatnya adalah:

Artinya, bagian real ($x$) tetap, sedangkan tanda bagian imajiner ($y$) dibalik (positif menjadi negatif, negatif menjadi positif).

Contoh Mencari Konjugat

Mari kita lihat beberapa contoh:

1. Jika $z = 2 + i$

   Di sini, $x=2$ dan $y=1$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 2 - i$. (Tanda bagian imajiner $+1$ menjadi $-1$)

2. Jika $z = 2$

   Kita bisa tulis $z = 2 + 0i$. Di sini, $x=2$ dan $y=0$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 2 - 0i = 2$. (Bagian imajiner 0, tandanya tidak berubah)

   Konjugat dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri.

3. Jika $z = 3 - 2i$

   Di sini, $x=3$ dan $y=-2$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 3 - (-2i) = 3 + 2i$. (Tanda bagian imajiner $-2$ menjadi $+2$)

4. Jika $z = 3i$

   Kita bisa tulis $z = 0 + 3i$. Di sini, $x=0$ dan $y=3$.

   Maka konjugatnya $\bar{z} = 0 - 3i = -3i$. (Tanda bagian imajiner $+3$ menjadi $-3$)

   Konjugat dari bilangan imajiner murni adalah negatifnya.

Visualisasi Konjugat

Secara geometris, konjugat $\bar{z}$ adalah pencerminan dari $z$ terhadap sumbu real (sumbu X) pada bidang kompleks.

Kekongruenan Bilangan Kompleks

Mungkinkah sebuah bilangan kompleks $z=x+iy$ sama dengan konjugatnya $\bar{z}=x-iy$? Jika iya, apa syaratnya?

Jawaban:

Ya, mungkin. Agar $z = \bar{z}$, maka:

Ini hanya bisa terjadi jika $iy = -iy$, yang berarti $2iy = 0$.

Karena $i \neq 0$, maka haruslah $y=0$.

Jadi, suatu bilangan kompleks sama dengan konjugatnya jika dan hanya jika bagian imajinernya adalah nol, atau dengan kata lain, jika bilangan kompleks tersebut adalah bilangan real.

Sifat-Sifat Operasi Konjugat

Operasi konjugat memiliki beberapa sifat menarik yang berguna dalam perhitungan. Misalkan $z, z_1,$ dan $z_2$ adalah sembarang bilangan kompleks.

Penjumlahan dan Pengurangan

Konjugat dari hasil penjumlahan (atau pengurangan) dua bilangan kompleks sama dengan penjumlahan (atau pengurangan) dari masing-masing konjugatnya.

Perkalian dan Pembagian

Konjugat dari hasil perkalian (atau pembagian) dua bilangan kompleks sama dengan perkalian (atau pembagian) dari masing-masing konjugatnya.

Invers

Konjugat dari invers suatu bilangan kompleks sama dengan invers dari konjugatnya.

Ganda

Mengambil konjugat dua kali akan mengembalikan bilangan kompleks ke bentuk aslinya.

Hubungan dengan Bagian Real dan Imajiner

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan hubungan menarik dengan bagian real dan imajinernya:

Perkalian dengan Konjugat

Perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan kuadrat dari modulusnya (sebuah bilangan real non-negatif).

Latihan

Tentukan sekawan (konjugat) dari setiap bilangan kompleks berikut!

1. $2+i^2$
2. $1+\frac{1}{i}$
3. $1+2i$

Kunci Jawaban

1. Pertama, sederhanakan bilangan kompleksnya:

   $z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1$. Karena $z=1$ adalah bilangan real ($1+0i$ ),

   maka konjugatnya adalah $\bar{z} = 1$.

2. Sederhanakan dulu:

   Ingat bahwa

   $$\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i$$

   Maka, $z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i$.

   Konjugatnya adalah $\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i$.

3. $z = 1+2i$.

   Langsung gunakan definisi: $\bar{z} = 1 - 2i$.