Sifat Logaritma

Sifat Dasar Logaritma

Seperti halnya eksponen, logaritma juga memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami. Sifat-sifat ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai persoalan logaritma.

Misalkan $a > 0$ dan $a \neq 1$ , $b > 0$ , $c > 0$ , $m > 0$ , $m \neq 1$ , di mana $a, b, c, m, n$ adalah bilangan real $(a, b, c, m, n \in \mathbb{R})$ . Berikut adalah sifat-sifat logaritma:

$^a\log a = 1$
$^a\log 1 = 0$
$^a\log a^n = n$
$^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c$
$^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c$
$^a\log b^n = n \cdot ^a\log b$
$^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a}$
$^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c$

Pembuktian Sifat Logaritma

Logaritma Perkalian

Sifat 4: $^a\log (b \times c) = ^a\log b + ^a\log c$

Bukti: Misalkan $^a\log b = m$ dan $^a\log c = n$

Ini berarti:

$b = a^m$ dan $c = a^n$

Menggunakan sifat eksponen:

b \times c = a^m \times a^n = a^{m+n}

Dengan demikian:

^a\log (b \times c) = ^a\log (a^{m+n}) = m + n = ^a\log b + ^a\log c

Logaritma Pembagian

Sifat 5: $^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log b - ^a\log c$

Bukti: Misalkan $^a\log b = m$ dan $^a\log c = n$

Maka $b = a^m$ dan $c = a^n$

Ingat bahwa $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , sehingga:

\frac{b}{c} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Oleh karena itu:

^a\log \left(\frac{b}{c}\right) = ^a\log (a^{m-n}) = m - n = ^a\log b - ^a\log c

Logaritma Pangkat

Sifat 6: $^a\log b^n = n \cdot ^a\log b$

Bukti: Misalkan $^a\log b = m$

$^a\log b^n$ artinya logaritma dari $b$ pangkat $n$

^a\log b^n = ^a\log (\underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{n \text{ faktor}})

Menggunakan sifat 4 berulang kali:

^a\log b^n = \underbrace{^a\log b + ^a\log b + ^a\log b + \ldots + ^a\log b}_{n \text{ faktor}} = n \cdot ^a\log b

Perubahan Basis Logaritma

Sifat 7: $^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a} = \frac{1}{^b\log a}$

Bukti: Berdasarkan definisi logaritma, $^a\log b = c$ jika dan hanya jika $b = a^c$

Misalkan kita menggunakan basis $m$ untuk logaritma $b$ :

^m\log b = ^m\log a^c

Menggunakan sifat 6:

^m\log b = c \cdot ^m\log a

Karena $c = ^a\log b$ , maka:

^m\log b = ^a\log b \cdot ^m\log a

Sehingga:

^a\log b = \frac{^m\log b}{^m\log a}

Jika $m = b$ , maka:

^a\log b = \frac{^b\log b}{^b\log a} = \frac{1}{^b\log a}

Logaritma Berantai

Sifat 8: $^a\log b \times ^b\log c = ^a\log c$

Bukti: Berdasarkan definisi:

^a\log b = m \Leftrightarrow b = a^m

^b\log c = n \Leftrightarrow c = b^n

Substitusi nilai $b$ ke persamaan $c$ :

c = b^n = (a^m)^n = a^{mn}

Karena $c = a^{mn}$ , maka:

^a\log c = ^a\log (a^{mn}) = mn = ^a\log b \times ^b\log c

Contoh Penerapan

Misalkan kita ingin menghitung $^5\log 125$ .

Menggunakan sifat 6:

^5\log 125 = ^5\log 5^3 = 3 \cdot ^5\log 5 = 3 \cdot 1 = 3

Latihan

Sederhanakan bentuk akar berikut ini.

a. $^9\log 81$

b. $^2\log 64 - ^2\log 16$

c. $^4\log 16^{10}$
Jika $^5\log 4 = m$ , $^4\log 3 = n$ , nyatakan $^{12}\log 100$ dalam m dan n.
Penduduk kota A pada tahun 2010 sebanyak 300.000 jiwa. Pertumbuhan penduduk kota A rata-rata per tahun adalah 6%. Jika diasumsikan pertumbuhan penduduk setiap tahun sama, dalam berapa tahun penduduk kota A menjadi 1 juta jiwa?
Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga uang Dini yang tadinya Rp2.000.000,00 dapat menjadi Rp6.500.000,00 jika dia menabung di suatu bank yang memberinya bunga sebesar 12%?

Kunci Jawaban

Menentukan nilai logaritma

a. Jawaban:

$^9\log 81 = ^9\log 9^2$
$^9\log 81 = 2 \cdot ^9\log 9$
$^9\log 81 = 2 \cdot 1 = 2$

b. Jawaban:

$^2\log 64 - ^2\log 16 = ^2\log \frac{64}{16}$
$^2\log 64 - ^2\log 16 = ^2\log 4$
$^2\log 64 - ^2\log 16 = 2$

c. Jawaban:

$^4\log 16^{10} = ^4\log (4^2)^{10}$
$^4\log 16^{10} = ^4\log 4^{20}$
$^4\log 16^{10} = 20$
Dinyatakan bahwa $^5\log 4 = m$ , $^4\log 3 = n$

Maka:

$^{12}\log 100 = \frac{^4\log 100}{^4\log 12}$
$= \frac{^4\log(4 \times 25)}{^4\log(4 \times 3)}$
$= \frac{^4\log 4 + ^4\log 25}{^4\log 4 + ^4\log 3}$
$= \frac{^4\log 4 + 2 \cdot ^4\log 5}{^4\log 4 + ^4\log 3}$
$= \frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{m}}{1 + n}$
$= \frac{1 + \frac{2}{m}}{1 + n}$
Jumlah penduduk = 300.000 jiwa

Pertumbuhan penduduk per tahun 6%.

Fungsi yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk dalam $x$ tahun adalah:

$f(x) = 300.000(1 + 0,06)^x$

Untuk jumlah penduduk 1.000.000 jiwa:

$1.000.000 = 300.000(1 + 0,06)^x$
$1.000.000 = 300.000(1,06)^x$
$\frac{1.000.000}{300.000} = (1,06)^x$
$3,33 = (1,06)^x$
$x = ^{1,06}\log 3,33$
$x = 20,645$

Jadi penduduk akan mencapai 1.000.000 jiwa dalam waktu 20 atau 21 tahun.
Tabungan awal = Rp2.000.000,00

Tabungan akhir = Rp6.500.000,00

Bunga = 12%

Fungsi yang tepat untuk menggambarkan tabungan Dini dalam $x$ tahun adalah:

$f(x) = 2.000.000(1 + 0,12)^x$

Untuk tabungan akhir sebesar Rp6.500.000,00:

$6.500.000 = 2.000.000(1 + 0,12)^x$
$6.500.000 = 2.000.000(1,12)^x$
$\frac{6.500.000}{2.000.000} = (1,12)^x$
$3,25 = (1,12)^x$
$x = ^{1,12}\log 3,25$
$x = 10,4$

Jadi, tabungan Dini akan mencapai Rp6.500.000,00 dalam waktu 10 tahun.

Command Palette