Definisi Logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen. Jika kita memiliki persamaan eksponensial $b = a^c$ , maka bentuk logaritmanya adalah $^a\log b = c$ .

Definisi Formal Logaritma

Misalkan $a$ adalah bilangan positif dengan $0 < a < 1$ atau $a > 1$ , dan $b > 0$ , maka:

^a\log b = c \text{ jika dan hanya jika } b = a^c

Di mana:

$a$ adalah bilangan pokok atau basis logaritma
$b$ adalah numerus (bilangan yang dicari logaritmanya)
$c$ adalah hasil logaritma

Kita bisa membaca $^a\log b = c$ juga seperti: $a$ pangkat berapa supaya menjadi $b$ , jawabannya adalah $c$ . Karena $a^c = b$ .

Hubungan Eksponen dan Logaritma

Logaritma dan eksponen saling terkait sebagai operasi yang saling berkebalikan. Perhatikan contoh berikut:

Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma
$2^5 = 32$	$^2\log 32 = 5$
$3^2 = 9$	$^3\log 9 = 2$
$5^{-2} = \frac{1}{25}$	$^5\log \frac{1}{25} = -2$
$7^0 = 1$	$^7\log 1 = 0$

Logaritma Umum (Basis 10)

Logaritma dengan basis 10 disebut sebagai logaritma umum. Penulisannya sering disederhanakan dengan menghilangkan angka 10 sebagai basis:

^{10}\log a = \log a

Aplikasi Logaritma dalam Pertumbuhan Eksponensial

Menentukan Waktu untuk Mencapai Jumlah Tertentu

Sebuah koloni bakteri awalnya terdiri dari 2.000 bakteri dengan kecepatan pembelahan setiap 1 jam. Pertumbuhan bakteri ini mengikuti fungsi eksponensial:

f(x) = 2.000(2^x)

di mana $x$ adalah waktu dalam jam.

Lalu, untuk menentukan waktu yang dibutuhkan agar bakteri mencapai jumlah tertentu, misalnya 100.000 bakteri, kita perlu mencari nilai $x$ yang memenuhi:

100.000 = 2.000(2^x)

Dengan membagi kedua ruas dengan 2.000:

50 = 2^x

Untuk mencari nilai $x$ , kita menggunakan konsep logaritma:

x = \log_2 50

Ini menunjukkan bahwa logaritma adalah alat yang sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, terutama saat mencari nilai eksponen yang menghasilkan nilai tertentu.