Merasionalkan Akar

Konsep Dasar

Merasionalkan bentuk akar adalah proses mengubah ekspresi matematika yang memiliki akar di penyebut menjadi bentuk yang lebih sederhana tanpa akar di penyebut. Hal ini dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk yang sesuai.

• Merasionalkan Bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$

  Untuk merasionalkan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$, kita kalikan dengan sekawannya yaitu $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$:

  $$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

  Contoh:

  $$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

• Merasionalkan Bentuk $\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

  Untuk merasionalkan bentuk $\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$, kita kalikan dengan sekawannya $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$:

  $$\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$$

  Contoh:

  $$\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$$

• Merasionalkan Bentuk $\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

  Untuk merasionalkan bentuk $\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$, kita kalikan dengan sekawannya $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$:

  $$\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$$

  Contoh:

  $$\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$$

• Merasionalkan Bentuk $\frac{c}{a + \sqrt{b}}$

  Untuk merasionalkan bentuk $\frac{c}{a + \sqrt{b}}$, kita kalikan dengan sekawannya $\frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}}$:

  $$\frac{c}{a + \sqrt{b}} = \frac{c}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}$$

  Contoh:

  $$\frac{6}{4 + \sqrt{3}} = \frac{6}{4 + \sqrt{3}} \times \frac{4 - \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{6(4 - \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{6(4 - \sqrt{3})}{13}$$

• Merasionalkan Bentuk $\frac{c}{a - \sqrt{b}}$

  Untuk merasionalkan bentuk $\frac{c}{a - \sqrt{b}}$, kita kalikan dengan sekawannya $\frac{a + \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}}$:

  $$\frac{c}{a - \sqrt{b}} = \frac{c}{a - \sqrt{b}} \times \frac{a + \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}} = \frac{c(a + \sqrt{b})}{a^2 - b} = \frac{c(a + \sqrt{b})}{a^2 - b}$$

  Contoh:

  $$\frac{3}{2 - \sqrt{5}} = \frac{3}{2 - \sqrt{5}} \times \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{3(2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{3(2 + \sqrt{5})}{-1} = -3(2 + \sqrt{5})$$

Latihan Menyederhanakan

1. Sederhanakan bentuk berikut:

   $$\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

2. Sederhanakan bentuk berikut:

   $$\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]{x}\right)$$

3. Sederhanakan bentuk berikut:

   $$\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p^{\frac{1}{4}}q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Kunci Jawaban Menyederhanakan

1. Jawaban:

   $$\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{\left(2^3\right)^{\frac{1}{2}}\left(x^5\right)^{\frac{1}{2}}\left(y^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(2^4\right)^{\frac{1}{2}}\left(y^{-\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}}$$

   $$= \frac{\left(2\right)^{\frac{3}{2}}\left(x\right)^{\frac{5}{2}}\left(y\right)^{-2}}{2^2\left(y\right)^{-\frac{1}{8}}}$$

   $$= \left(2\right)^{\frac{3}{2}-2}\left(x\right)^{\frac{5}{2}}\left(y\right)^{-2+\frac{1}{8}}$$

   $$= \frac{\left(x\right)^{\frac{5}{2}}}{\left(2\right)^{\frac{1}{2}}\left(y\right)^{\frac{15}{8}}}$$

2. Jawaban:

   $$\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]{x}\right) = \left(5x^{\frac{5}{2}}\right)\left(3x^{\frac{1}{3}}\right)$$

   $$= 15x^{\frac{5}{2}+\frac{1}{3}}$$

   $$= 15x^{\frac{15+2}{6}}$$

   $$= 15x^{\frac{17}{6}}$$

   $$= 15x^{2\frac{5}{6}}$$

   $$= 15x^2\sqrt[6]{x^5}$$

3. Jawaban:

   $$\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p^{\frac{1}{4}}q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{p^{5-5}q^{-10-(-4)}}{1}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p^{\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2})}q^{-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}}{1}\right)^{\frac{1}{2}}$$

   $$= \left(p^0q^{-6}\right)^{\frac{1}{2}}\left(p^{\frac{3}{4}}q^0\right)^{\frac{1}{2}}$$

   $$= \left(p^0q^{-3}\right)\left(p^{\frac{3}{8}}\cdot 1\right)$$

   $$= \left(1 \cdot q^{-3}\right)\left(p^{\frac{3}{8}} \cdot 1\right)$$

   $$= \frac{p^{\frac{3}{8}}}{q^3}$$

   $$= \frac{\sqrt[8]{p^3}}{q^3}$$

Latihan Merasionalkan

1. Merasionalkan bentuk berikut:

   $$\frac{2}{\sqrt{b^3}}$$

2. Merasionalkan bentuk berikut:

   $$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$$

3. Merasionalkan bentuk berikut:

   $$\frac{m}{\sqrt{m} + n}$$

Kunci Jawaban Merasionalkan

1. Jawaban:

   $$\frac{2}{\sqrt{b^3}} = \frac{2}{\sqrt{b^3}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$$

   $$= \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{b^4}}$$

   $$= \frac{2\sqrt{b}}{b^2}$$

2. Jawaban:

   $$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$$

   $$= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$$

   $$= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5}$$

   $$= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2}$$

   $$= -(\sqrt{3} - \sqrt{5})$$

   $$= \sqrt{5} - \sqrt{3}$$

3. Jawaban:

   $$\frac{m}{\sqrt{m} + n} = \frac{m}{\sqrt{m} + n} \times \frac{\sqrt{m} - n}{\sqrt{m} - n}$$

   $$= \frac{m(\sqrt{m} - n)}{(\sqrt{m})^2 - n^2}$$

   $$= \frac{m(\sqrt{m} - n)}{m - n^2}$$

Manfaat Merasionalkan Bentuk Akar

Merasionalkan bentuk akar memiliki beberapa manfaat:

1. Menyederhanakan bentuk ekspresi matematika
2. Memudahkan perhitungan nilai pendekatan
3. Menghilangkan bentuk akar di penyebut untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan