Barisan Aritmetika

Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan di mana selisih atau beda antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstan. Beda pada barisan aritmetika dilambangkan dengan $b$.

Contoh Barisan Aritmetika

Perhatikan barisan bilangan berikut:

Pada barisan ini, kita dapat melihat bahwa:

• Selisih antara suku kedua dan pertama: $6 - 4 = 2$
• Selisih antara suku ketiga dan kedua: $8 - 6 = 2$
• Selisih antara suku keempat dan ketiga: $10 - 8 = 2$

Karena selisih antara dua suku berurutan selalu sama yaitu 2, maka barisan ini merupakan barisan aritmetika dengan beda $b = 2$.

Beda pada Barisan Aritmetika

Beda ($b$) pada barisan aritmetika dapat dihitung dengan mengurangkan dua suku berurutan:

Di mana:

• $U_n$ menyatakan suku ke- $n$
• $U_{n-1}$ menyatakan suku ke-( $n-1$)

Rumus Suku ke-n

Rumus Umum

Untuk menentukan suku ke-$n$ pada barisan aritmetika, kita dapat menggunakan rumus:

Keterangan:

• $U_n$ = suku ke- $n$
• $a$ = suku pertama
• $n$ = nomor suku
• $b$ = beda

Cara Menurunkan Rumus

Jika kita menulis beberapa suku pertama dari barisan aritmetika:

• Suku ke-1: $U_1 = a$
• Suku ke-2: $U_2 = a + b$
• Suku ke-3: $U_3 = a + 2b$
• Suku ke-4: $U_4 = a + 3b$
• Suku ke-5: $U_5 = a + 4b$

Dari pola tersebut, kita dapat melihat bahwa suku ke-$n$ adalah:

Aplikasi Barisan Aritmetika

Gedung Pertunjukan Seni

Perhatikan jumlah kursi pada gedung pertunjukan seni berikut:

• Baris ke-1 = 20 kursi
• Baris ke-2 = 24 kursi
• Baris ke-3 = 28 kursi
• Baris ke-4 = 32 kursi
• Baris ke-5 = 36 kursi

Untuk menentukan banyak kursi pada baris tertentu, kita perlu mencari pola dari data tersebut.

Langkah 1: Mencari beda antar baris

• Baris ke-2 - Baris ke-1: $24 - 20 = 4$
• Baris ke-3 - Baris ke-2: $28 - 24 = 4$
• Baris ke-4 - Baris ke-3: $32 - 28 = 4$
• Baris ke-5 - Baris ke-4: $36 - 32 = 4$

Terlihat bahwa beda antara jumlah kursi pada baris yang berurutan adalah 4. Ini berarti jumlah kursi di gedung pertunjukan ini membentuk barisan aritmetika dengan:

• Suku pertama ($a$) = 20
• Beda ($b$) = 4

Langkah 2: Menggunakan rumus untuk mencari jumlah kursi pada baris ke-15

Jadi, jumlah kursi pada baris ke-15 adalah 76 kursi.

Latihan 1

Diketahui suatu barisan aritmetika, suku ke-3 = 9, suku ke-6 = 18. Tentukan rumus suku ke-n.

Kunci Jawaban Latihan 1

Untuk menentukan rumus suku ke-n, kita perlu mencari nilai suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$.

Kita eliminasi persamaan di atas untuk mendapatkan nilai b:

Setelah mendapatkan nilai b, kita substitusikan ke persamaan pertama untuk mendapatkan nilai a:

Setelah mendapatkan nilai a = 3 dan b = 3, kita bisa merumuskan suku ke-n:

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah $U_n = 3n$

Latihan 2

Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-5, nominal uang yang ditabung Rp70.000,00 dan pada bulan ke-9 Rudi menabung sebesar Rp90.000,00.

a. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan?

b. Tentukan berapa rupiah uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya?

Kunci Jawaban Latihan 2

Tabungan Rudi membentuk barisan aritmetika karena selisih kenaikan nominal antarbulan tetap.

a. Mencari selisih nominal uang yang ditabung antarbulan

Eliminasi persamaan 1 dan 2:

Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah Rp5.000,00.

b. Mencari uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya

Kita sudah mendapatkan nilai b = 5.000, selanjutnya kita substitusikan ke persamaan 1 untuk mendapatkan nilai a:

Jadi, uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya adalah Rp50.000,00.