Barisan Geometri

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap (konstan) antara dua suku berurutan. Rasio ini dilambangkan dengan huruf $r$ .

Jika kita memiliki barisan geometri $U_1, U_2, U_3, ..., U_n$ , maka:

\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = ... = r

Dengan kata lain, setiap suku dalam barisan geometri diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio $r$ .

Eksplorasi Melipat Kertas

Mari kita lakukan eksplorasi sederhana untuk memahami konsep barisan geometri. Siapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu lipat beberapa kali.

Jika kertas dilipat 1 kali, maka kertas akan terbagi menjadi 2 bagian sama besar. Jika dilipat lagi (2 kali), akan terbentuk 4 bagian sama besar. Berikut pola yang terbentuk:

Jumlah melipat kertas	Banyaknya bagian sama besar
1 kali	2 bagian
2 kali	4 bagian
3 kali	8 bagian
4 kali	16 bagian

Perhatikan bahwa banyaknya bagian yang terbentuk membentuk barisan bilangan: 2, 4, 8, 16, ...

Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Dengan kata lain, rasionya adalah 2.

Rumus Umum Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki rumus umum:

U_n = a \cdot r^{n-1}

Dimana:

$U_n$ = suku ke-n
$a$ = suku pertama
$r$ = rasio
$n$ = nomor suku

Pembelahan Bakteri

Bakteri berkembang biak dengan cara membelah diri. Dalam waktu dua jam, satu sel bakteri membelah menjadi 3 bagian.

Jika jumlah awal bakteri adalah 2 sel, maka:

Suku pertama ( $U_1$ ) = 2
Rasio ( $r$ ) = 3

Dalam 20 jam, terjadi pembelahan sebanyak 10 kali (20 jam ÷ 2 jam = 10 kali).

Untuk menentukan jumlah bakteri setelah 20 jam (suku ke-10), kita gunakan rumus:

U_{10} = 2 \cdot 3^{10-1} = 2 \cdot 3^9 = 2 \cdot 19.683 = 39.366

Jadi, setelah 20 jam, terdapat 39.366 sel bakteri.

Pembelahan Bakteri

2 Bakteri

Sifat-Sifat Barisan Geometri

Rasio Barisan Geometri

Rasio ( $r$ ) pada barisan geometri selalu tetap dan dapat dihitung dengan membagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya:

r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = ...

Menentukan Suku ke-n

Untuk mencari suku ke-n dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

U_n = a \cdot r^{n-1}

Penerapan Barisan Geometri

Barisan geometri banyak diterapkan dalam berbagai bidang, seperti:

Pertumbuhan populasi (seperti pada contoh bakteri)
Bunga majemuk dalam ekonomi
Peluruhan radioaktif dalam fisika
Pertumbuhan sel dalam biologi

Dengan memahami konsep barisan geometri, kita dapat memodelkan dan memprediksi berbagai fenomena yang melibatkan pertumbuhan atau penurunan dengan rasio tetap.

Contoh Soal

Mencari Rasio

Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 4 dan suku ke-4 adalah 108. Tentukan rasio dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

$a = 4$ (suku pertama)
$U_4 = 108$ (suku ke-4)

Dengan menggunakan rumus umum barisan geometri:

U_4 = a \cdot r^{4-1}

108 = 4 \cdot r^3

r^3 = \frac{108}{4} = 27

r = \sqrt[3]{27} = 3

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3.

Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan ukuran panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang adalah 81 cm, maka tentukan panjang tali pada potongan ketiga.

Penyelesaian:

Diketahui:

$a = 16$ (tali paling pendek)
$U_5 = 81$ (tali paling panjang)

Langkah pertama, menentukan rasio:

U_5 = a \cdot r^{5-1}

81 = 16 \cdot r^4

r^4 = \frac{81}{16}

r = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}

Kemudian, mencari panjang tali ketiga ( $U_3$ ):

U_3 = a \cdot r^{3-1}

U_3 = 16 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2

U_3 = 16 \cdot \frac{9}{4}

U_3 = 36

Jadi, panjang tali pada potongan ketiga adalah 36 cm.

Command Palette