Konsep Bilangan Kompleks

Kebutuhan Bilangan Kompleks

Kamu pasti pernah mencoba mencari solusi persamaan kuadrat. Misalnya, persamaan $x^2 - 1 = 0$. Gampang kan? Kita bisa faktorkan jadi $(x-1)(x+1) = 0$, sehingga solusinya adalah $x=1$ atau $x=-1$. Keduanya adalah bilangan real.

Nah, bagaimana dengan persamaan $x^2 + 1 = 0$? Kalau kita coba cari solusinya di himpunan bilangan real, kita tidak akan menemukannya. Kenapa? Karena persamaan itu akan menghasilkan $x^2 = -1$. Tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan hasilnya negatif.

Untuk mengatasi masalah ini, matematikawan memperkenalkan jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks.

Bilangan Imajiner

Inti dari bilangan kompleks adalah adanya satuan imajiner, yang dilambangkan dengan $i$. Satuan imajiner ini didefinisikan sebagai akar kuadrat dari -1.

Dengan definisi ini, kita mendapatkan sifat penting:

Dengan adanya $i$, kita sekarang bisa mencari akar kuadrat dari bilangan negatif. Contohnya:

Bilangan seperti $2i$ dan $3i$ disebut bilangan imajiner murni.

Bentuk Umum

Bilangan kompleks secara umum ditulis dalam bentuk $z = a + bi$, di mana:

• $a$ adalah bagian real (bilangan real).
• $b$ adalah bagian imajiner (bilangan real).
• $i$ adalah satuan imajiner ($\sqrt{-1}$ ).

Bagian $bi$ secara keseluruhan disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks.

Contoh

Mari kita lihat beberapa contoh dan tentukan bagian real serta imajinernya:

1. $2 + 3i$

   • Bagian real ($a$): $2$
   • Bagian imajiner ($b$): $3$

2. $5 - 4i$ Ini sama dengan $5 + (-4)i$.

   • Bagian real ($a$): $5$
   • Bagian imajiner ($b$): $-4$

3. $\sqrt{2}$ Ini adalah bilangan real biasa, tapi bisa juga dianggap bilangan kompleks dengan bagian imajiner 0. Bentuknya $\sqrt{2} + 0i$.

   • Bagian real ($a$): $\sqrt{2}$
   • Bagian imajiner ($b$): $0$

4. $-7i$ Ini adalah bilangan imajiner murni. Bentuknya $0 + (-7)i$.

   • Bagian real ($a$): $0$
   • Bagian imajiner ($b$): $-7$

Latihan

Tentukan bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks berikut:

1. $2 + \sqrt{(-2)^2}$
2. $2 + i^2$
3. $1 + \sqrt{-9}$
4. $1 + 2i$

Kunci Jawaban

1. $2 + \sqrt{(-2)^2} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$.

   Ini bisa ditulis sebagai $4 + 0i$.

   • Bagian real: $4$
   • Bagian imajiner: $0$

2. $2 + i^2 = 2 + (-1) = 1$.

   Ini bisa ditulis sebagai $1 + 0i$.

   • Bagian real: $1$
   • Bagian imajiner: $0$

3. $1 + \sqrt{-9} = 1 + \sqrt{9 \times (-1)} = 1 + 3i$.

   Ini bisa ditulis sebagai $1 + 3i$.

   • Bagian real: $1$
   • Bagian imajiner: $3$

4. $1 + 2i$.

   Ini bisa ditulis sebagai $1 + 2i$.

   • Bagian real: $1$
   • Bagian imajiner: $2$