Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Vektor dan Operasinya

Pengurangan Vektor

Konsep Dasar Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor merupakan salah satu operasi dasar dalam matematika vektor. Berbeda dengan penjumlahan vektor yang menggabungkan dua vektor, pengurangan vektor menghasilkan selisih antara dua vektor. Ketika kita mengurangkan vektor b⃗\vec{b} dari vektor a⃗\vec{a}, hasilnya adalah vektor yang bila ditambahkan dengan b⃗\vec{b} akan menghasilkan a⃗\vec{a}.

Secara matematis, pengurangan vektor didefinisikan sebagai:

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Ini berarti pengurangan vektor b⃗\vec{b} dari vektor a⃗\vec{a} sama dengan penjumlahan vektor a⃗\vec{a} dengan vektor negatif dari b⃗\vec{b}.

Pengurangan Vektor secara Geometris

Secara geometris, pengurangan vektor a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} dapat digambarkan dengan:

  1. Menggambar vektor a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b} dengan titik pangkal yang sama.
  2. Menggambar vektor −b⃗-\vec{b} (vektor b⃗\vec{b} yang arahnya dibalik).
  3. Menggambar vektor dari ujung b⃗\vec{b} ke ujung a⃗\vec{a}.

Vektor yang dihasilkan, yaitu a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}, juga dapat diperoleh dengan menarik garis dari ujung vektor b⃗\vec{b} ke ujung vektor a⃗\vec{a} ketika kedua vektor digambar dari titik asal yang sama.

Visualisasi Pengurangan Vektor di Ruang 3D
Pengurangan vektor a−ba - b (warna ungu) adalah sama dengan vektor aa (warna biru) ditambah dengan negatif vektor bb (warna merah).

Pengurangan Vektor secara Aljabar

Pengurangan vektor dapat dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian. Misalkan kita memiliki dua vektor:

a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)
b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)

Maka pengurangan vektor a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} dapat dihitung dengan:

a⃗−b⃗=(a1−b1,a2−b2,a3−b3)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)

Untuk vektor dua dimensi, persamaannya menjadi:

a⃗−b⃗=(a1−b1,a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)

Contoh Perhitungan Pengurangan Vektor

Misalkan terdapat dua vektor:

a⃗=(3,4)\vec{a} = (3, 4)
b⃗=(1,2)\vec{b} = (1, 2)

Pengurangan vektor a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} adalah:

a⃗−b⃗=(3,4)−(1,2)=(3−1,4−2)=(2,2)\vec{a} - \vec{b} = (3, 4) - (1, 2) = (3-1, 4-2) = (2, 2)

Sedangkan pengurangan vektor b⃗−a⃗\vec{b} - \vec{a} adalah:

b⃗−a⃗=(1,2)−(3,4)=(1−3,2−4)=(−2,−2)\vec{b} - \vec{a} = (1, 2) - (3, 4) = (1-3, 2-4) = (-2, -2)

Perhatikan bahwa a⃗−b⃗≠b⃗−a⃗\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} dalam umumnya. Sebenarnya, a⃗−b⃗=−(b⃗−a⃗)\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a}).

Contoh Pengurangan Vektor
Visualisasi pengurangan vektor a−b=(3,4,0)−(1,2,0)=(2,2,0)a - b = (3,4,0) - (1,2,0) = (2,2,0).

Aplikasi Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata:

  1. Menghitung Perpindahan: Jika a⃗\vec{a} adalah posisi akhir dan b⃗\vec{b} adalah posisi awal, maka a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} adalah vektor perpindahan.

  2. Menghitung Jarak: Dalam game seperti Angry Birds, pengurangan vektor digunakan untuk menghitung jarak dan arah antara burung dan target.

  3. Fisika: Pengurangan vektor digunakan untuk menghitung gaya resultan dalam sistem dengan beberapa gaya.

Pengurangan Vektor untuk Mencari Resultan

Pengurangan vektor juga dapat digunakan untuk mencari vektor resultan. Resultan vektor adalah vektor yang merepresentasikan efek gabungan dari dua atau lebih vektor.

Misalkan terdapat sebuah objek yang bergerak dari posisi awal p⃗1\vec{p}_1 ke posisi akhir p⃗2\vec{p}_2. Vektor perpindahan objek tersebut adalah:

d⃗=p⃗2−p⃗1\vec{d} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1

Resultan vektor ini menunjukkan arah dan jarak perpindahan objek.

Sifat-sifat Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor memiliki beberapa sifat penting:

  1. a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})
  2. a⃗−a⃗=0⃗\vec{a} - \vec{a} = \vec{0} (vektor nol)
  3. a⃗−0⃗=a⃗\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}
  4. 0⃗−a⃗=−a⃗\vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}
  5. a⃗−b⃗=−(b⃗−a⃗)\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})

Contoh Soal

Seekor monyet berada pada posisi (3, 4) dan ingin mengambil pisang yang berada pada posisi (2, 1). Tentukan vektor perpindahan monyet untuk mengambil pisang.

Penyelesaian:

Posisi monyet: m⃗=(3,4)\vec{m} = (3, 4) Posisi pisang: p⃗=(2,1)\vec{p} = (2, 1)

Vektor perpindahan monyet ke pisang:

d⃗=p⃗−m⃗=(2,1)−(3,4)=(2−3,1−4)=(−1,−3)\vec{d} = \vec{p} - \vec{m} = (2, 1) - (3, 4) = (2-3, 1-4) = (-1, -3)

Jadi, monyet harus bergerak 1 satuan ke arah negatif sumbu-x dan 3 satuan ke arah negatif sumbu-y untuk mencapai pisang.

Besar vektor perpindahan dapat dihitung dengan rumus Pythagoras:

∣d⃗∣=(−1)2+(−3)2=1+9=10≈3,16|\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
Sebelumnya

Penjumlahan Vektor

Selanjutnya

Vektor Nol