Perkalian Skalar Vektor

Pengertian Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi perkalian antara sebuah bilangan real (skalar) dengan sebuah vektor $\vec{v}$. Hasil dari perkalian ini adalah vektor baru dengan panjang yang diubah sesuai dengan nilai skalar, sementara arahnya dapat tetap sama atau berlawanan tergantung pada tanda dari skalar tersebut.

Jika $k$ adalah bilangan real (skalar) dan $\vec{v}$ adalah vektor, maka perkalian skalar dengan vektor dilambangkan sebagai $k \cdot \vec{v}$ dan hasilnya adalah vektor baru.

Sifat-sifat Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor memiliki beberapa sifat penting:

1. Jika $k > 0$ (positif), maka vektor hasil memiliki arah yang sama dengan vektor asal.
2. Jika $k < 0$ (negatif), maka vektor hasil memiliki arah yang berlawanan dengan vektor asal.
3. Jika $k = 0$, maka vektor hasil adalah vektor nol.
4. Besar (magnitudo) vektor hasil adalah $|k|$ kali besar vektor asal.

Representasi Perkalian Skalar dengan Vektor

Secara Geometris

Secara geometris, perkalian skalar dengan vektor mengubah panjang (magnitudo) vektor tersebut sebanyak $|k|$ kali. Arah vektor bergantung pada tanda $k$:

• Jika $k > 0$, arah vektor tidak berubah
• Jika $k < 0$, arah vektor berlawanan dengan vektor asal $|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$

Secara Aljabar

Jika $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ adalah vektor di ruang 3 dimensi, maka:

Dalam notasi vektor satuan:

Contoh Perkalian Skalar dengan Vektor

Contoh 1

Diketahui vektor $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$. Tentukan hasil perkalian $2\vec{a}$.

Penyelesaian:

Contoh 2

Diketahui vektor $\vec{v} = (4, -2, 3)$. Tentukan hasil dari $-3\vec{v}$.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa arah vektor hasil berlawanan dengan vektor asal karena skalarnya negatif.

Aplikasi Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan matematika, seperti:

1. Gaya dan Percepatan: Jika sebuah benda bermassa $m$ mengalami percepatan $\vec{a}$, maka gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah $\vec{F} = m\vec{a}$.

2. Kecepatan: Jika sebuah benda bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ selama waktu $t$, maka perpindahan benda tersebut adalah $\vec{s} = t\vec{v}$.

3. Penskalaan dalam Grafika Komputer: Untuk mengubah ukuran objek dalam grafika komputer, koordinat titik-titik pada objek dikalikan dengan faktor skala.

Latihan Soal

1. Diketahui vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$. Tentukan hasil dari $-2\vec{a}$.

2. Vektor $\vec{u} = (2, -5, 1)$ dan $\vec{v} = (-4, 3, 6)$. Tentukan vektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$.

3. Diketahui vektor $\overrightarrow{BR} = 3,4 \text{ cm}$. Jika $\overrightarrow{BU} = 0,65 \cdot \overrightarrow{BR}$ dan $\overrightarrow{UR} = 0,35 \cdot \overrightarrow{BR}$, buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

4. Vektor $\vec{p}$ memiliki panjang 5 satuan dan vektor $\vec{q} = 3\vec{p}$. Tentukan panjang vektor $\vec{q}$.

5. Diketahui titik $A(2, 3, -1)$, $B(5, -2, 4)$, dan $C$ terletak pada garis yang melalui $A$ dan $B$ sehingga $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$. Tentukan koordinat titik $C$.

Kunci Jawaban

Soal 1

Diketahui vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$. Tentukan hasil dari $-2\vec{a}$.

Penyelesaian:

Jadi, hasil dari $-2\vec{a}$ adalah $-6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$.

Soal 2

Vektor $\vec{u} = (2, -5, 1)$ dan $\vec{v} = (-4, 3, 6)$. Tentukan vektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Penyelesaian:

Jadi, vektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$ adalah $(16, -19, -16)$ atau $16\vec{i} - 19\vec{j} - 16\vec{k}$.

Soal 3

Diketahui vektor $\overrightarrow{BR} = 3,4 \text{ cm}$. Jika $\overrightarrow{BU} = 0,65 \cdot \overrightarrow{BR}$ dan $\overrightarrow{UR} = 0,35 \cdot \overrightarrow{BR}$, buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

Penyelesaian: Untuk membuktikan bahwa ketiga vektor memiliki arah yang sama, kita perlu menunjukkan bahwa mereka merupakan perkalian skalar positif dari vektor yang sama.

Kita tahu:

• $\overrightarrow{BU} = 0,65 \cdot \overrightarrow{BR}$
• $\overrightarrow{UR} = 0,35 \cdot \overrightarrow{BR}$

Mari kita periksa apakah $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$:

Hasil ini menunjukkan bahwa $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$, yang sesuai dengan hukum penjumlahan vektor untuk titik-titik B, U, dan R yang segaris.

Karena $\overrightarrow{BU} = 0,65 \cdot \overrightarrow{BR}$ dan $\overrightarrow{UR} = 0,35 \cdot \overrightarrow{BR}$, dimana faktor skalanya positif $0,65$ dan $0,35$, maka ketiga vektor memiliki arah yang sama. Faktor skalar positif berarti vektor-vektor tersebut mengarah ke arah yang sama dengan vektor acuan $\overrightarrow{BR}$.

Jadi, terbukti bahwa ketiga vektor $\overrightarrow{BR}$, $\overrightarrow{BU}$, dan $\overrightarrow{UR}$ memiliki arah yang sama.

Soal 4

Vektor $\vec{p}$ memiliki panjang 5 satuan dan vektor $\vec{q} = 3\vec{p}$. Tentukan panjang vektor $\vec{q}$.

Penyelesaian: Diketahui $|\vec{p}| = 5$ satuan dan $\vec{q} = 3\vec{p}$.

Untuk menentukan panjang vektor $\vec{q}$, kita menggunakan sifat perkalian skalar:

Jadi, panjang vektor $\vec{q}$ adalah 15 satuan.

Soal 5

Diketahui titik $A(2, 3, -1)$, $B(5, -2, 4)$, dan $C$ terletak pada garis yang melalui $A$ dan $B$ sehingga $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$. Tentukan koordinat titik $C$.

Penyelesaian: Pertama, kita tentukan vektor $\overrightarrow{AB}$:

Kemudian, kita gunakan hubungan $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ untuk menentukan vektor $\overrightarrow{AC}$:

Selanjutnya, kita tentukan koordinat titik C:

Jadi, koordinat titik C adalah $C(8, -7, 9)$.