Varian dan Simpangan Baku Data Tunggal

Mengukur Sebaran dengan Varian dan Simpangan Baku

Ada cara ampuh untuk mengukur seberapa menyebar data kita, yaitu Varian (atau Ragam) dan Simpangan Baku (atau Deviasi Standar).

Kedua ukuran ini memberi tahu kita seberapa jauh, rata-rata, setiap data menyimpang dari nilai mean (rata-rata) kelompoknya.

• Kalau Varian atau Simpangan Baku nilainya kecil, artinya data-data dalam kelompok itu cenderung seragam atau mirip-mirip, dan berkumpul dekat dengan nilai mean-nya.
• Kalau nilainya besar, artinya data-datanya lebih bervariasi atau beragam, dan menyebar lebih jauh dari nilai mean-nya.

Rumus Varian dan Simpangan Baku

1. Varian ($\sigma^2$)

   Varian adalah rata-rata dari kuadrat selisih setiap data dengan mean. Bingung? Gampangnya gini: hitung selisih tiap data dengan mean, kuadratkan hasilnya, baru dirata-rata.

   Rumusnya:

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$$

   Di mana:

   • $\sigma^2$ = Varian
   • $x_i$ = Nilai data ke- $i$
   • $\bar{x}$ = Mean (rata-rata) dari data
   • $n$ = Banyaknya data
   • $\sum$ = Jumlahkan semua hasil perhitungan

2. Simpangan Baku ($\sigma$)

   Simpangan baku ini lebih sering dipakai karena satuannya sama dengan satuan data aslinya (kalau varian satuannya jadi kuadrat). Caranya gampang, tinggal akar kuadrat dari varian.

   Rumusnya:

   $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$

Membandingkan Varian Umur Dua Kelompok

Mari kita gunakan contoh dua kelompok data umur berikut untuk melihat bagaimana varian dan simpangan baku bekerja. Kedua kelompok ini menarik karena memiliki mean ($\bar{x}$) yang sama, yaitu 16, namun sebaran datanya berbeda.

• Kelompok Pertama ($n=12$): 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18
• Kelompok Kedua ($n=12$): 1, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 27, 28, 29, 32, 36

Sekarang, kita hitung Varian dan Simpangan Baku untuk masing-masing kelompok.

Perhitungan Kelompok 1

Kita hitung $(x_i - \bar{x})^2$ untuk setiap data di Kelompok 1 ($\bar{x}=16$):

• $(13-16)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(14-16)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(15-16)^2 = (-1)^2 = 1$ (ada 2 data)
• $(16-16)^2 = (0)^2 = 0$ (ada 2 data)
• $(17-16)^2 = (1)^2 = 1$ (ada 5 data)
• $(18-16)^2 = (2)^2 = 4$

Sekarang jumlahkan semua hasil kuadrat itu ($\sum(x_i - \bar{x})^2$):

Hitung Variannya:

Hitung Simpangan Bakunya:

Perhitungan Kelompok 2

Kita hitung $(x_i - \bar{x})^2$ untuk setiap data di Kelompok 2 ($\bar{x}=16$):

• $(1-16)^2 = (-15)^2 = 225$
• $(3-16)^2 = (-13)^2 = 169$
• $(4-16)^2 = (-12)^2 = 144$
• $(5-16)^2 = (-11)^2 = 121$
• $(7-16)^2 = (-9)^2 = 81$
• $(8-16)^2 = (-8)^2 = 64$
• $(12-16)^2 = (-4)^2 = 16$
• $(27-16)^2 = (11)^2 = 121$
• $(28-16)^2 = (12)^2 = 144$
• $(29-16)^2 = (13)^2 = 169$
• $(32-16)^2 = (16)^2 = 256$
• $(36-16)^2 = (20)^2 = 400$

Jumlahkan semua hasil kuadrat itu ($\sum(x_i - \bar{x})^2$):

Hitung Variannya:

Hitung Simpangan Bakunya:

Interpretasi Hasil

• Varian Kelompok 1 ($\sigma^2 = 2$) jauh lebih kecil dari Varian Kelompok 2 ($\sigma^2 \approx 159,17$).
• Simpangan Baku Kelompok 1 ($\sigma \approx 1,41$) juga jauh lebih kecil dari Simpangan Baku Kelompok 2 ($\sigma \approx 12,62$).

Hasil ini menunjukkan bahwa data umur di Kelompok 1 sangat rapat dan seragam di sekitar mean 16, sedangkan data umur di Kelompok 2 sangat menyebar jauh dari mean 16.

Rumus Alternatif untuk Varian

Ada cara lain untuk menghitung varian yang kadang lebih mudah kalau pakai kalkulator atau komputer, terutama untuk data yang banyak. Rumusnya:

Rumus ini bilang:

"Hitung kuadrat setiap data lalu jumlahkan ($\sum x_i^2$), bagi dengan n. Lalu kurangi dengan kuadrat dari mean ($(\bar{x})^2 = (\frac{\sum x_i}{n})^2$)".

Mari kita coba hitung ulang varian Kelompok 1 pakai rumus ini:

1. Hitung $\sum x_i^2$ untuk Kelompok 1:

   $$13^2 + 14^2 + 15^2 + 15^2 + 16^2 + 16^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 18^2$$

   $$= 169 + 196 + 225 + 225 + 256 + 256 + 289 + 289 + 289 + 289 + 289 + 324 = 3096$$

2. Hitung $\sum x_i$ untuk Kelompok 1:

   $$13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 18$$

   $$= 192$$

   Kita juga tahu $n=12$.

3. Masukkan ke rumus alternatif:

   $$\sigma^2 = \frac{3096}{12} - \left( \frac{192}{12} \right)^2$$

   $$\sigma^2 = 258 - (16)^2$$

   $$\sigma^2 = 258 - 256 = 2$$

Hasilnya sama persis dengan cara pertama! ($\sigma^2 = 2$).