Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok

Menghitung Sebaran Data Kelompok

Bagaimana sebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel frekuensi berkelompok? Misalnya, data durasi baterai HP yang dikelompokkan dalam interval jam (6-10 jam, 11-15 jam, dst.).

Karena kita tidak tahu nilai pasti setiap data dalam satu kelas interval (misalnya, di kelas 11-15 jam, kita tidak tahu apakah durasinya pas 11 jam, 12 jam, atau lainnya), kita perlu asumsi.

Asumsi yang paling umum adalah semua data dalam satu kelas interval itu terdistribusi merata, sehingga kita bisa mewakili semua data di kelas itu dengan nilai tengah ( $x_i$ ) kelas tersebut.

Rumus Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok

Dengan menggunakan nilai tengah ( $x_i$ ) dan frekuensi ( $f$ ) setiap kelas, rumusnya menjadi sedikit berbeda:

Varian ( $\sigma^2$ )

Rumus yang sering digunakan (dan lebih mudah untuk dihitung) adalah rumus komputasi yang disesuaikan untuk data kelompok:

$\sigma^2 = \frac{\sum (f \cdot x_i^2)}{\sum f} - \left( \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} \right)^2$

Rumus ini pada dasarnya menghitung rata-rata dari kuadrat nilai tengah dikali frekuensi, dikurangi kuadrat dari rata-rata nilai tengah dikali frekuensi (mean data kelompok).
Simpangan Baku ( $\sigma$ )

Sama seperti data tunggal, simpangan baku adalah akar kuadrat dari varian:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Menghitung Varian dan Simpangan Baku Durasi Baterai HP

Misalkan sebuah penelitian mengenai lamanya durasi baterai HP menghasilkan data berikut:

Durasi baterai (jam)	Frekuensi ( $f$ )
6-10	2
11-15	10
16-20	18
21-25	45
26-30	5

Mari kita tentukan varian dan simpangan baku dari data durasi baterai ini.

Buat Tabel Bantu

Kita perlu menghitung nilai tengah ( $x_i$ ) untuk setiap kelas, lalu menghitung $f \cdot x_i$ dan $f \cdot x_i^2$ .

Durasi baterai (jam)	Nilai tengah, $x_i$	Frekuensi, $f$	$f \cdot x_i$	$f \cdot x_i^2$
6-10	$\frac{6+10}{2}=8$	2	$2 \times 8 = 16$	$2 \times 8^2 = 128$
11-15	$\frac{11+15}{2}=13$	10	$10 \times 13 = 130$	$10 \times 13^2 = 1690$
16-20	$\frac{16+20}{2}=18$	18	$18 \times 18 = 324$	$18 \times 18^2 = 5832$
21-25	$\frac{21+25}{2}=23$	45	$45 \times 23 = 1035$	$45 \times 23^2 = 23805$
26-30	$\frac{26+30}{2}=28$	5	$5 \times 28 = 140$	$5 \times 28^2 = 3920$
Jumlah		$\sum f = 80$	$\sum fx_i = 1645$	$\sum fx_i^2 = 35375$

Hitung Varian

Masukkan nilai-nilai total dari tabel ke dalam rumus varian:

\sigma^2 = \frac{\sum (f \cdot x_i^2)}{\sum f} - \left( \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} \right)^2

\sigma^2 = \frac{35375}{80} - \left( \frac{1645}{80} \right)^2

\sigma^2 = 442,1875 - (20,5625)^2

\sigma^2 = 442,1875 - 422,81640625

\sigma^2 \approx 19,37

Jadi, varian dari data durasi baterai adalah sekitar 19,37 (dalam satuan jam kuadrat).

Hitung Simpangan Baku

Ambil akar kuadrat dari varian:

\sigma = \sqrt{19,37} \approx 4,4

Simpangan baku durasi baterai HP adalah sekitar 4,4 jam. Ini memberi kita gambaran bahwa rata-rata penyimpangan durasi baterai dari mean (yang bisa dihitung sebagai $\frac{1645}{80} \approx 20,56$ jam) adalah sekitar 4,4 jam.

Semakin kecil simpangan baku, semakin seragam durasi baterai HP dalam penelitian tersebut.