Perbedaan Konvergen dan Divergen

Apa Itu Deret Konvergen dan Divergen?

Dalam matematika, ketika kita menjumlahkan suku-suku suatu barisan tak hingga, kita mendapatkan sebuah deret tak hingga. Pertanyaan pentingnya adalah: apakah hasil penjumlahan tak hingga ini menuju suatu angka tertentu (konvergen) atau tidak (divergen)?

Deret Konvergen

Sebuah deret disebut konvergen jika jumlah suku-sukunya semakin lama semakin mendekati sebuah nilai terbatas tertentu. Bayangkan seperti bola memantul, total lintasannya berhenti di satu angka, tidak terus bertambah tanpa batas.

Ciri Khas Deret Konvergen

• Jumlah parsialnya (jumlah $n$ suku pertama, $S_n$) mendekati suatu nilai $L$ saat $n$ mendekati tak hingga ($\lim_{n \to \infty} S_n = L$, dimana $L$ adalah bilangan real).
• Syarat perlu (tapi tidak cukup): suku ke-$n$ nya ($u_n$) harus mendekati 0 saat $n$ mendekati tak hingga ($\lim_{n \to \infty} u_n = 0$).

Contoh Deret Konvergen

• Deret Geometri dengan $|r| < 1$: Ini adalah contoh paling umum.

  Misalnya: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$. Jumlahnya mendekati 2.

  $$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Deret Divergen

Sebuah deret disebut divergen jika jumlah suku-sukunya tidak mendekati nilai terbatas tertentu. Jumlahnya bisa jadi:

• Terus membesar menuju tak hingga positif ($\infty$).
• Terus mengecil menuju tak hingga negatif ($-\infty$).
• Berayun (berosilasi) di antara beberapa nilai tanpa pernah menetap.

Ciri Khas Deret Divergen

• Jumlah parsialnya ($S_n$) tidak mendekati satu nilai $L$ tertentu saat $n$ mendekati tak hingga.
• Jika $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$ (suku ke-$n$ tidak menuju 0), maka deretnya pasti divergen.

Contoh Deret Divergen

• Deret Aritmetika (selain $0 + 0 + \dots$): Jumlahnya pasti menuju $\infty$ atau $-\infty$.

  Misalnya: $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$ (menuju $\infty$)

• Deret Geometri dengan $|r| \ge 1$:

  • Jika $r \ge 1$, jumlahnya menuju $\pm \infty$ (tergantung tanda suku pertama).

    Contoh: $2 + 4 + 8 + 16 + \dots$ (menuju $\infty$)

  • Jika $r \le -1$, jumlahnya berosilasi.

    Contoh: $1 - 2 + 4 - 8 + \dots$ (Jumlah parsialnya: $1, -1, 3, -5, \dots$ tidak menuju satu nilai)

• Deret Harmonik: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$. Ini contoh menarik. Meskipun suku ke-$n$ nya ($u_n = \frac{1}{n}$) mendekati 0, jumlah deretnya tetap menuju tak hingga ($\infty$). Ini menunjukkan bahwa syarat $u_n \to 0$ saja tidak cukup untuk menjamin konvergensi.

Ringkasan Perbedaan Utama