Deret Aritmetika

Pengertian Deret Aritmetika

Pernah dengar cerita tentang Carl Friedrich Gauss, si jenius matematika? Saat masih SD, gurunya memberi tugas menjumlahkan semua bilangan dari 1 sampai 100: $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$. Gurunya berharap murid-muridnya akan sibuk lama.

Tapi Gauss punya ide cemerlang! Dia tidak menjumlahkan satu per satu. Penjumlahan berurutan dari suku-suku suatu barisan aritmetika (barisan yang punya selisih tetap antar sukunya) inilah yang kita sebut Deret Aritmetika.

Contohnya, $1, 2, 3, \dots, 100$ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a=1$ dan beda $b=1$. Deret aritmetikanya adalah $1 + 2 + 3 + \dots + 100$.

Bagaimana Cara Gauss Menghitungnya

Gauss memperhatikan pola yang menarik:

• Jika suku pertama $(1)$ dijumlahkan dengan suku terakhir $(100)$, hasilnya $101$.
• Jika suku kedua $(2)$ dijumlahkan dengan suku kedua terakhir $(99)$, hasilnya juga $101$.
• Jika suku ketiga $(3)$ dijumlahkan dengan suku ketiga terakhir $(98)$, hasilnya tetap $101$.
• Pola ini berlanjut terus!

Ternyata, ada 50 pasang bilangan yang masing-masing jumlahnya 101. Jadi, total jumlahnya adalah $50 \times 101 = 5050$. Cerdik, kan?

Menemukan Rumus Umum

Cara Gauss tadi bisa kita pakai untuk membuat rumus umum jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika, yang biasa disimbolkan dengan $S_n$.

Misalkan kita punya deret aritmetika:

Kalau ditulis lengkap dengan suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$:

Sekarang, kita tulis ulang deret $S_n$ tapi urutannya dibalik, dari suku terakhir ke suku pertama:

Atau:

Selanjutnya, kita jumlahkan kedua versi $S_n$ tersebut, suku demi suku:

Perhatikan! Setiap pasang suku (atas dan bawah) jika dijumlahkan hasilnya selalu sama, yaitu $2a + (n-1)b$. Karena ada $n$ suku, berarti ada $n$ pasang penjumlahan yang sama.

Jadi, kita dapatkan:

Dengan membagi kedua sisi dengan 2, kita peroleh rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika:

Rumus Praktis Deret Aritmetika

Ada dua bentuk rumus yang paling sering digunakan untuk menghitung $S_n$:

1. Jika diketahui suku pertama $(a)$ dan beda $(b)$:

   $$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)$$

2. Jika diketahui suku pertama $(a)$ dan suku ke-$(n)$ $(U_n)$: Ingat rumus suku ke-$n$ adalah $U_n = a + (n-1)b$. Substitusi ini ke rumus pertama:

   $$S_n = \frac{n}{2}(a + a + (n - 1)b)$$

   $$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$$

   Rumus kedua ini mirip cara Gauss: jumlah suku pertama dan terakhir, dikalikan banyaknya pasangan $(\frac{n}{2})$.

Keterangan:

• $S_n$ = Jumlah $n$ suku pertama
• $n$ = Banyaknya suku
• $a$ = Suku pertama ($U_1$)
• $b$ = Beda (selisih antar suku)
• $U_n$ = Suku ke- $n$

Contoh Soal

Soal 1

Hitung kembali jumlah deret $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$.

Diketahui:

• Suku pertama $a = 1$
• Suku terakhir $U_n = U_{100} = 100$
• Banyaknya suku $n = 100$

Karena $a$ dan $U_n$ diketahui, kita pakai rumus kedua:

Hasilnya sama persis dengan cara Gauss!

Soal 2

Diketahui deret aritmetika: $13 + 16 + 19 + 22 + \dots$. Hitunglah jumlah 30 suku pertama $(S_{30})$!

Diketahui:

• Suku pertama $a = 13$
• Beda $b = 16 - 13 = 3$
• Banyaknya suku yang dicari $n = 30$

Karena $a$ dan $b$ diketahui, kita pakai rumus pertama:

Jadi, jumlah 30 suku pertama deret tersebut adalah 1695.