Melengkapi Kuadrat Sempurna

Apa Itu Melengkapi Kuadrat Sempurna?

Melengkapi kuadrat sempurna adalah metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubah bentuk persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ menjadi bentuk $(x + p)^2 = q$. Metode ini sangat berguna terutama untuk persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan dengan cara faktorisasi biasa.

Ingat bahwa bentuk kuadrat sempurna memiliki pola $x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2$. Kita memanfaatkan pola ini untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk yang lebih mudah diselesaikan.

Mengapa Menggunakan Metode Ini?

Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan. Contohnya, persamaan $x^2 + 4x + 2 = 0$ tidak dapat difaktorkan dengan mudah menggunakan bilangan rasional karena tidak ada dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2 dan jika dijumlahkan menghasilkan 4.

Dalam kasus seperti ini, metode melengkapi kuadrat sempurna menjadi pilihan yang efektif untuk mendapatkan akar-akar persamaan.

Langkah-Langkah Melengkapi Kuadrat Sempurna

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:

1. Pastikan Koefisien x² Bernilai 1

   Jika koefisien $a$ dari $x^2$ tidak sama dengan 1, kita harus membagi seluruh persamaan dengan nilai $a$.

   Contoh: Untuk persamaan $2x^2 + 6x + 3 = 0$

   $$2x^2 + 6x + 3 = 0 \div 2$$

   $$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$$

2. Pindahkan Konstanta ke Ruas Kanan

   Pindahkan suku konstanta ke ruas kanan persamaan.

   Contoh: Dari persamaan $x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$

   $$x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$$

3. Tambahkan Kuadrat dari Setengah Koefisien x ke Kedua Ruas

   Tambahkan $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ ke kedua ruas persamaan. Nilai ini adalah kuadrat dari setengah koefisien $x$.

   Contoh: Untuk persamaan $x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$

   Setengah dari koefisien $x$ adalah $\frac{3}{2}$

   Kuadrat dari nilai tersebut: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

   Tambahkan ke kedua ruas:

   $$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

4. Faktorkan Ruas Kiri Menjadi Bentuk Kuadrat Sempurna

   Ruas kiri sekarang memiliki bentuk $x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$, yang dapat difaktorkan menjadi $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$.

   Contoh: Dari persamaan $x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$

   $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

5. Sederhanakan Ruas Kanan

   Operasikan perhitungan pada ruas kanan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana.

   Contoh: Untuk $\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$

   $$-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}$$

   Sehingga persamaan menjadi:

   $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$

6. Ambil Akar Kuadrat dari Kedua Ruas

   Untuk menghilangkan kuadrat, ambil akar kuadrat dari kedua ruas.

   Contoh: Dari persamaan $\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

   $$x + \frac{3}{2} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

7. Selesaikan untuk Mendapatkan Nilai x

   Isolasi variabel $x$ untuk mendapatkan akar-akar persamaan.

   Contoh: Dari $x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Untuk tanda positif:

   $$x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Untuk tanda negatif:

   $$x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Contoh Lengkap Penyelesaian

Persamaan dengan Koefisien x² = 1

Mari kita selesaikan persamaan: $x^2 + 5x + 6 = 0$

Langkah 1: Koefisien $a = 1$, jadi kita langsung ke langkah berikutnya.

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas.

Langkah 4: Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Langkah 5: Sederhanakan ruas kanan.

Langkah 6: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas.

Langkah 7: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$.

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -2$ dan $x = -3$.

Persamaan dengan Koefisien x² ≠ 1

Mari kita selesaikan persamaan: $2x^2 + 6x + 3 = 0$

Langkah 1: Bagi semua suku dengan koefisien $a = 2$

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas

Langkah 4: Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

Langkah 5: Sederhanakan ruas kanan

Langkah 6: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas

Langkah 7: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hal-Hal Penting dalam Melengkapi Kuadrat Sempurna

1. Untuk persamaan dengan koefisien $x^2$ bukan 1: Selalu bagi seluruh persamaan dengan koefisien $a$ terlebih dahulu. Contoh: $3x^2 + 6x + 2 = 0$ menjadi $x^2 + 2x + \frac{2}{3} = 0$

2. Konstanta yang ditambahkan: Selalu tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas. Contoh: Untuk $x^2 + 8x = 5$, tambahkan $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$ ke kedua ruas.

3. Bentuk akhir: Persamaan akan berubah menjadi bentuk $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. Contoh: $x^2 + 6x + 8 = 0$ menjadi $\left(x + 3\right)^2 = 1$

Kasus Khusus dan Variasi

Ketika Diskriminan Negatif

Jika $b^2 - 4ac < 0$, maka persamaan tidak memiliki akar real.

Contoh konkret: $x^2 + 2x + 2 = 0$

Dengan melengkapi kuadrat sempurna:

Karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya -1, maka persamaan ini tidak memiliki akar real.

Pada Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap

Untuk persamaan bentuk $ax^2 + c = 0$, kita tidak perlu melengkapi kuadrat sempurna.

Contoh konkret: $3x^2 - 12 = 0$

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 2$ dan $x = -2$.

Latihan Soal

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:

1. $x^2 + 5x + 6 = 0$
2. $2x^2 + 6x + 3 = 0$
3. $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
4. $x^2 - 12x - 15 = 0$
5. $\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0$

Kunci Jawaban

1. $x^2 + 5x + 6 = 0$

   1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 + 5x = -6$$

   2. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = \frac{5}{2}$$

      $$\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

      $$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}$$

   3. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = -6 + \frac{25}{4}$$

   4. Sederhanakan ruas kanan:

      $$-6 + \frac{25}{4} = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}$$

      $$\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

   5. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x + \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}$$

   6. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{atau} \quad x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$$

      $$x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2 \quad \text{atau} \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -2$ dan $x = -3$.

2. $2x^2 + 6x + 3 = 0$

   1. Bagi semua suku dengan koefisien $a = 2$:

      $$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$$

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$$

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = \frac{3}{2}$$

      $$\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

      $$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      $$-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}$$

      $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{atau} \quad x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

   1. Bagi semua suku dengan koefisien $a = 6$:

      $$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = 0$$

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 + \frac{1}{3}x = -\frac{1}{36}$$

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = \frac{1}{6}$$

      $$\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$$

      $$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}$$

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}$$

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      $$\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = 0$$

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x + \frac{1}{6} = 0$$

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x = -\frac{1}{6}$$

   Jadi, persamaan ini memiliki satu akar (akar ganda), yaitu $x = -\frac{1}{6}$.

4. $x^2 - 12x - 15 = 0$

   1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 - 12x = 15$$

   2. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = -6$$

      $$\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = (-6)^2 = 36$$

      $$x^2 - 12x + 36 = 15 + 36$$

   3. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$(x - 6)^2 = 51$$

   4. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x - 6 = \pm\sqrt{51}$$

   5. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x = 6 \pm \sqrt{51}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 6 + \sqrt{51}$ dan $x = 6 - \sqrt{51}$.

5. $\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0$

   1. Bagi semua suku dengan koefisien $a = \frac{3}{2}$:

      $$x^2 - \frac{16}{3}x - 4 = 0$$

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      $$x^2 - \frac{16}{3}x = 4$$

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

      $$\text{Setengah koefisien } x = -\frac{8}{3}$$

      $$\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}$$

      $$x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{64}{9} = 4 + \frac{64}{9}$$

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      $$\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = 4 + \frac{64}{9}$$

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      $$4 + \frac{64}{9} = \frac{36 + 64}{9} = \frac{100}{9}$$

      $$\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = \frac{100}{9}$$

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      $$x - \frac{8}{3} = \pm\frac{10}{3}$$

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

      $$x = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \quad \text{atau} \quad x = \frac{8}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{2}{3}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x = 6$ dan $x = -\frac{2}{3}$.