Rumus Persamaan Kuadrat

Bagaimana Bentuk Rumus Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$, dimana:

• $a$ adalah koefisien dari $x^2$
• $b$ adalah koefisien dari $x$
• $c$ adalah konstanta

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, kita bisa menggunakan rumus:

Rumus ini akan memberikan dua nilai $x$ yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat:

• $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (menggunakan tanda plus)
• $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (menggunakan tanda minus)

Bagian $b^2 - 4ac$ disebut diskriminan dan menentukan jenis akar-akar persamaan:

• Jika $b^2 - 4ac > 0$: Dua akar real berbeda
• Jika $b^2 - 4ac = 0$: Satu akar real (akar kembar)
• Jika $b^2 - 4ac < 0$: Tidak memiliki akar real

Menurunkan Rumus Persamaan Kuadrat

Rumus persamaan kuadrat dapat diturunkan dari metode melengkapi kuadrat sempurna. Mari kita lihat bagaimana caranya:

Dimulai dari persamaan kuadrat standar:

Langkah 1: Kita bagi semua suku dengan $a$ (koefisien $x^2$):

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

Langkah 4: Ruas kiri sekarang membentuk kuadrat sempurna:

Langkah 5: Sederhanakan ruas kanan:

Langkah 6: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

Langkah 7: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

Sehingga kita mendapatkan rumus persamaan kuadrat:

Menggunakan Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$
2. Identifikasi nilai $a$, $b$, dan $c$
3. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
4. Hitung nilai $x$ untuk mendapatkan akar-akar persamaan

Contoh Penerapan

Contoh 1: Selesaikan persamaan $x^2 + 5x + 6 = 0$

Identifikasi nilai $a = 1$, $b = 5$, dan $c = 6$

Substitusikan ke dalam rumus:

Untuk $x_1$, ambil tanda positif:

Untuk $x_2$, ambil tanda negatif:

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$

Contoh 2: Selesaikan persamaan $2x^2 - 7x + 3 = 0$

Identifikasi nilai $a = 2$, $b = -7$, dan $c = 3$

Substitusikan ke dalam rumus:

Untuk $x_1$, ambil tanda positif:

Untuk $x_2$, ambil tanda negatif:

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = 3$ dan $x_2 = \frac{1}{2}$

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Bagian $b^2 - 4ac$ pada rumus persamaan kuadrat disebut diskriminan, biasanya dilambangkan dengan $D$ atau $\Delta$.

Diskriminan memberikan informasi tentang jenis akar-akar persamaan kuadrat:

• Jika $D > 0$: Persamaan memiliki dua akar real berbeda
• Jika $D = 0$: Persamaan memiliki satu akar real (akar kembar)
• Jika $D < 0$: Persamaan tidak memiliki akar real (akar-akarnya bilangan kompleks)

Hubungan Antara Akar dan Koefisien

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, maka:

1. Jumlah kedua akar: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
2. Hasil kali kedua akar: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Membuktikan Hubungan

Dari rumus persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:

Jumlahkan kedua akar:

Kalikan kedua akar:

Membuat Persamaan Kuadrat Baru dari Akar yang Diketahui

Jika kita mengetahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat, kita dapat membuat persamaan kuadrat baru. Misalkan $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah:

Atau dalam bentuk standar:

Contoh Aplikasi

1. Persamaan kuadrat $x^2 + 4x + 3 = 0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$.

   Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $2p$ dan $2q$.

   Langkah 1: Temukan nilai $p + q$ dan $p \cdot q$

   $$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4$$

   $$p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$$

   Langkah 2: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

   $$2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8$$

   $$2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12$$

   Langkah 3: Buat persamaan kuadrat baru

   $$x^2 - (-8)x + 12 = 0$$

   $$x^2 + 8x + 12 = 0$$

2. Persamaan kuadrat $x^2 + 4x - 21 = 0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$.

   Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $\frac{1}{2p}$ dan $\frac{1}{2q}$.

   Langkah 1: Temukan nilai $p + q$ dan $p \cdot q$

   $$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4$$

   $$p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{-21}{1} = -21$$

   Langkah 2: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

   $$\frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} = \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}$$

   $$\frac{1}{2p} \cdot \frac{1}{2q} = \frac{1}{4pq} = \frac{1}{4 \cdot (-21)} = \frac{1}{-84} = -\frac{1}{84}$$

   Langkah 3: Buat persamaan kuadrat baru

   $$x^2 - \frac{4}{21}x - \frac{1}{84} = 0$$

Latihan

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat:

1. $x^2 + 5x + 6 = 0$
2. $2x^2 + 6x + 3 = 0$
3. $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
4. $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$
5. $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Kunci Jawaban

1. Solusi persamaan kuadrat $x^2 + 5x + 6 = 0$

   Identifikasi: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$

   $$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$$

   $$= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$$

   $$= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$$

   $$= \frac{-5 \pm 1}{2}$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$.

2. Solusi persamaan kuadrat $2x^2 + 6x + 3 = 0$

   Identifikasi: $a = 2$, $b = 6$, $c = 3$

   $$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$$

   $$= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4}$$

   $$= \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4}$$

   $$= \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$$

   $$= \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$ dan $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$.

3. Solusi persamaan kuadrat $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

   Identifikasi: $a = 6$, $b = 2$, $c = \frac{1}{6}$

   $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}$$

   $$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{12}$$

   $$= \frac{-2 \pm 0}{12}$$

   $$= \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

   Karena diskriminan $b^2 - 4ac = 0$, persamaan memiliki satu akar (akar ganda).

   Jadi, akar persamaan adalah $x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$.

4. Solusi persamaan kuadrat $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$

   Identifikasi: $a = \frac{1}{2}$, $b = 4$, $c = 6$

   $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$$

   $$= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1}$$

   $$= \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{1}$$

   $$= -4 \pm 2$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = -4 + 2 = -2$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = -4 - 2 = -6$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -6$.

5. Solusi persamaan kuadrat $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

   Identifikasi: $a = \frac{2}{3}$, $b = 2$, $c = -12$

   $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}$$

   $$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4/3}$$

   $$= \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4/3}$$

   $$= \frac{-2 \pm 6}{4/3}$$

   $$= \frac{3(-2 \pm 6)}{4}$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = 3$ dan $x_2 = -6$.