Persamaan Kuadrat

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang melibatkan bentuk kuadrat. Persamaan ini mengandung variabel dengan pangkat tertinggi adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax^2 + bx + c = 0

dengan syarat $a \neq 0$ dan $a, b, c$ merupakan bilangan real.

Istilah kuadrat berasal dari kata bahasa Latin, yaitu quadratus, yang berarti membuat persegi. Ini berkaitan dengan interpretasi geometris dari bentuk $x^2$ yang dapat dilihat sebagai luas persegi dengan sisi $x$ .

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Berikut adalah beberapa metode yang sering digunakan:

Faktorisasi

Metode faktorisasi dilakukan dengan menguraikan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Misalnya:

2x^2 - 3x - 2 = 0

(2x + 1)(x - 2) = 0

Dari bentuk faktor di atas, kita bisa mendapatkan solusi:

Jika $2x + 1 = 0$ , maka $x = -\frac{1}{2}$
Jika $x - 2 = 0$ , maka $x = 2$

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x = -\frac{1}{2}$ atau $x = 2$ .

Melengkapkan Kuadrat

Cara ini melibatkan proses mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Contoh:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Kita bagi semua suku dengan 2:

x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0

Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

x^2 - \frac{3}{2}x = 1

Tambahkan $\left(\frac{-3/2}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}$ ke kedua ruas:

x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}

\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}

\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2

Sehingga:

x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}

x = \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4}

x = 2 \text{ atau } x = -\frac{1}{2}

Menggunakan Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Untuk persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ , akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Contoh:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Dengan $a = 2$ , $b = -3$ , dan $c = -2$ :

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}

x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}

x = \frac{3 \pm 5}{4}

Sehingga:

x = \frac{3 + 5}{4} = 2 \text{ atau } x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}

Perumusan Masalah dalam Bentuk Persamaan Kuadrat

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat. Mari kita eksplorasi beberapa contoh:

Masalah Ruang Baca

Empat sudut baca berukuran sama dibuat dalam sebuah ruang kelas berukuran 4 m × 6 m. Jika setiap sudut berbentuk persegi dengan sisi $x$ meter, maka luas ruangan yang tersisa untuk mengatur tempat duduk siswa adalah:

\text{Luas total} - \text{Luas empat sudut}

4 \times 6 - 4x^2 = 24 - 4x^2

6 m

4 m

x

x

x

x

x

x

x

x

Masalah Perkalian Dua Bilangan

Perkalian dua bilangan adalah 63 dan penjumlahannya adalah 16. Kita bisa menyelesaikan ini dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kedua bilangan adalah $p$ dan $q$ , maka:

$p + q = 16$ , sehingga $q = 16 - p$
$p \times q = 63$

Substitusi nilai $q$ :

p(16 - p) = 63

16p - p^2 = 63

-p^2 + 16p - 63 = 0

p^2 - 16p + 63 = 0

Dengan memfaktorkan persamaan ini atau menggunakan rumus kuadrat, kita bisa menemukan nilai $p$ dan $q$ .

Masalah Kecepatan Kendaraan

Sebuah kendaraan menempuh jarak 320 km dengan kelajuan tertentu. Jika kendaraan melaju 24 km/jam lebih cepat, waktu tempuhnya berkurang 3 jam. Kita dapat mencari kelajuan awal dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kelajuan awal adalah $v$ km/jam dan waktu tempuh awal adalah $t$ jam, maka:

$v \times t = 320$ (jarak = kecepatan × waktu)
$(v + 24) \times (t - 3) = 320$ (kondisi kedua)

Dari persamaan pertama: $t = \frac{320}{v}$

Substitusi ke persamaan kedua:

(v + 24) \times \left(\frac{320}{v} - 3\right) = 320

Proses penyelesaian akan menghasilkan persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan untuk menemukan nilai $v$ .

Miskonsepsi Umum Tentang Persamaan Kuadrat

Beberapa miskonsepsi yang sering terjadi:

Menentukan operasi penjumlahan $x + 3$ sebagai $3x$ .

Contoh konkret: Jika panjang ruangan $x$ meter, dan bertambah 3 meter, maka panjangnya menjadi $x + 3$ meter, bukan $3x$ meter.
Menamai suatu persamaan sebagai persamaan kuadrat hanya karena melihat pangkat tertinggi variabel $x$ adalah 2, tanpa memperhatikan bentuk keseluruhan persamaan.

Perlu diingat bahwa persamaan kuadrat merupakan suatu polinom dengan bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$ dimana $a \neq 0$ .

Bentuk-bentuk Persamaan Kuadrat

Perhatikan bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan persamaan kuadrat?

$\frac{1}{x} + 2x + 4 = 0$
Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ .
$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-3} = x^2 - 4$
Ini bukan persamaan kuadrat dalam bentuk standar, karena memiliki bentuk pecahan dengan variabel di penyebut.
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Ini adalah persamaan kuadrat karena berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 3 \neq 0$ .
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$
Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ .

Latihan Soal

Identifikasi Persamaan Kuadrat

Tentukan apakah persamaan-persamaan matematika berikut merupakan persamaan kuadrat:

$x^3 + x^2 + x = 0$
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
$\frac{1}{x} + 5x = 0$
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$

Faktorisasi

Jabarkan persamaan-persamaan berikut:

$(x + 2)(x + 3) = 0$
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
$(2x - 8)(x + 5) = 0$

Kunci Jawaban

Identifikasi Persamaan Kuadrat

$x^3 + x^2 + x = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena memiliki pangkat tertinggi 3 ( $x^3$ ). Persamaan ini adalah persamaan kubik.
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Jawaban: Persamaan kuadrat, karena berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 3$ , $b = 2$ , dan $c = -1$ .
$\frac{1}{x} + 5x = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ . Persamaan ini adalah persamaan pecahan.
$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$
Jawaban: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku $\frac{1}{x}$ . Persamaan ini adalah persamaan campuran.

Faktorisasi

$(x + 2)(x + 3) = 0$
Jawaban:

$(x + 2)(x + 3) = 0$
$x^2 + 3x + 2x + 6 = 0$
$x^2 + 5x + 6 = 0$

Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $x^2 + 5x + 6 = 0$
$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
Jawaban:

$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$
$\frac{1}{3}x \cdot x + \frac{1}{3}x \cdot 9 - 4 \cdot x - 4 \cdot 9 = 0$
$\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4x - 36 = 0$
$\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0$

Kalikan semua suku dengan 3 untuk menyederhanakan:

$x^2 - 3x - 108 = 0$

Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $x^2 - 3x - 108 = 0$ atau $\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0$
$(2x - 8)(x + 5) = 0$
Jawaban:

$(2x - 8)(x + 5) = 0$
$2x \cdot x + 2x \cdot 5 - 8 \cdot x - 8 \cdot 5 = 0$
$2x^2 + 10x - 8x - 40 = 0$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$

Faktorisasi $2x - 8$ menjadi $2(x - 4)$ :

$2(x - 4)(x + 5) = 0$

Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah $2x^2 + 2x - 40 = 0$

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Mari kita selesaikan beberapa persamaan dari hasil faktorisasi di atas:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
Jawaban: Faktorisasi:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$

Sehingga:
- Jika $x + 2 = 0$ , maka $x = -2$
- Jika $x + 3 = 0$ , maka $x = -3$
Akar-akar persamaan: $x = -2$ atau $x = -3$
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Jawaban: Gunakan rumus ABC:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}$
$x = \frac{3 \pm 21}{2}$

Sehingga:
- $x = \frac{3 + 21}{2} = 12$
- $x = \frac{3 - 21}{2} = -9$
Akar-akar persamaan: $x = 12$ atau $x = -9$

Verifikasi dengan faktorisasi:

$x^2 - 3x - 108 = 0$
$(x - 12)(x + 9) = 0$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
Jawaban: Sederhanakan persamaan dengan membagi semua suku dengan 2:

$x^2 + x - 20 = 0$

Faktorisasi:

$x^2 + x - 20 = 0$
$(x + 5)(x - 4) = 0$

Sehingga:
- Jika $x + 5 = 0$ , maka $x = -5$
- Jika $x - 4 = 0$ , maka $x = 4$
Akar-akar persamaan: $x = -5$ atau $x = 4$

Command Palette