Sistem Pertidaksamaan Linear

Mengenal Sistem Pertidaksamaan Linear

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada situasi di mana ada batasan-batasan yang perlu dipertimbangkan. Misalnya, dalam membuat kue, kita mungkin dibatasi oleh jumlah bahan yang tersedia dan anggaran yang terbatas. Batasan-batasan semacam ini sering dapat dimodelkan menggunakan pertidaksamaan linear.

Apa Itu Sistem Pertidaksamaan Linear?

Sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan. Pertidaksamaan linear berbentuk:

Dimana $a_1, a_2, ..., a_n$ adalah koefisien, $x_1, x_2, ..., x_n$ adalah variabel, $b$ adalah konstanta, dan tanda ketidaksamaan dapat berupa $\leq, \geq, <, >$.

Perbedaan utama antara persamaan linear dan pertidaksamaan linear adalah:

• Persamaan linear memiliki tepat satu tanda sama dengan ($=$)
• Pertidaksamaan linear memiliki tanda ketidaksamaan ($\leq, \geq, <, >$)

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan dengan dua variabel (biasanya $x$ dan $y$):

Contoh:

Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan nilai $(x,y)$ yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan.

Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel, kita menggunakan metode grafik dengan langkah-langkah berikut:

Gambarkan Garis Batas

Untuk setiap pertidaksamaan, gambarkan garis batasnya dengan mengubah tanda ketidaksamaan menjadi tanda sama dengan.

Contoh:

Untuk sistem:

Gambarkan garis:

Tentukan Daerah Hasil

Untuk menentukan daerah hasil setiap pertidaksamaan:

1. Ambil titik uji (misal titik origin $(0,0)$ jika bukan titik pada garis)
2. Substitusikan ke pertidaksamaan
3. Jika hasilnya benar, daerah yang memuat titik uji adalah daerah hasil
4. Jika hasilnya salah, daerah yang tidak memuat titik uji adalah daerah hasil

Contoh:

Untuk $2x + 5y < 10$, cek titik (0,0):

(benar)

Daerah hasil adalah bagian yang memuat titik (0,0), yaitu di bawah garis $2x + 5y = 10$.

Untuk $6x + 2y > 10$, cek titik (0,0):

(salah)

Daerah hasil adalah bagian yang tidak memuat titik (0,0), yaitu di atas garis $6x + 2y = 10$.

Tentukan Irisan Daerah Hasil

Solusi sistem pertidaksamaan linear adalah irisan (daerah yang sama-sama dipenuhi) dari semua daerah hasil pertidaksamaan yang terlibat.

Penggambaran Grafik

Ketika menggambar grafik pertidaksamaan linear:

• Untuk $\leq$ atau $\geq$: gunakan garis utuh (daerah hasil termasuk titik-titik pada garis)
• Untuk $<$ atau $>$: gunakan garis putus-putus (daerah hasil tidak termasuk titik-titik pada garis)
• Daerah hasil diarsir untuk menunjukkan solusi

Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Pemodelan Matematika

Sistem pertidaksamaan linear sangat berguna untuk memodelkan masalah optimasi, seperti:

• Masalah dalam produksi dengan batasan sumber daya
• Perencanaan anggaran dengan batasan biaya
• Perencanaan nutrisi dengan batasan kalori

Perencanaan Kegiatan

Kiki adalah panitia perayaan hari kemerdekaan di RT. Dari kas RT ada uang sebesar Rp500.000,00 yang dapat digunakan. Untuk penyelenggaraan perlombaan, dibutuhkan Rp20.000,00 per anak. Hadiah untuk pemenang dianggarkan Rp40.000,00 untuk setiap jenis perlombaan. Diharapkan ada lebih dari 13 anak yang berpartisipasi.

Misalkan:

• $x$ = banyaknya peserta
• $y$ = banyaknya perlombaan

Model matematikanya adalah:

Jika kita sederhanakan:

Solusi sistem ini adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan. Dari grafik, kita dapat melihat berbagai kombinasi jumlah peserta dan jumlah perlombaan yang dapat diselenggarakan dalam batas anggaran.

Strategi Penyelesaian Masalah

Untuk menyelesaikan masalah sistem pertidaksamaan linear:

1. Tentukan variabel yang digunakan
2. Buat model matematika berdasarkan batasan-batasan yang ada
3. Selesaikan sistem dengan metode grafik
4. Interpretasikan solusi dalam konteks masalah asli

Perbedaan dengan Sistem Persamaan Linear

Visualisasi Interaktif Sistem Pertidaksamaan Linear

Mari bayangkan sistem pertidaksamaan linear sebagai pagar pembatas di sebuah taman. Setiap pertidaksamaan membatasi area mana yang boleh kita masuki. Saat ada lebih dari satu pertidaksamaan, kita hanya boleh berada di area yang memenuhi semua batasan tersebut.

Berikut adalah visualisasi interaktif dari sistem pertidaksamaan linear yang membantu kita memahami konsep ini lebih baik:

Contoh Sistem Pertidaksamaan

Perhatikan sistem pertidaksamaan linear berikut:

Pada visualisasi di bawah, daerah berwarna biru menunjukkan solusi dari $x + y \leq 10$ (semua titik di bawah atau pada garis $x + y = 10$).

Daerah berwarna merah menunjukkan solusi dari $15x + 9y \geq 120$ (semua titik di atas atau pada garis $15x + 9y = 120$).

Daerah yang berwarna ungu (perpotongan area biru dan merah) adalah solusi dari sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Cara Membaca Visualisasi

Dalam visualisasi interaktif ini:

1. Garis batas menunjukkan persamaan (misal: $x + y = 10$ dan $15x + 9y = 120$)
2. Daerah berwarna menunjukkan solusi dari masing-masing pertidaksamaan
3. Daerah irisan (yang memenuhi semua pertidaksamaan) adalah solusi sistem pertidaksamaan

Kamu dapat melihat dengan jelas bahwa solusi dari sistem pertidaksamaan ini membentuk daerah yang dibatasi oleh kedua garis. Dari visualisasi, kita juga bisa menentukan titik potong kedua garis yang merupakan salah satu titik penting dalam daerah solusi.

Dengan memahami visualisasi ini, kamu akan lebih mudah menyelesaikan masalah optimasi dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan batasan-batasan yang dapat dimodelkan dengan sistem pertidaksamaan linear.