Definisi Fungsi

Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah fungsi yang dinyatakan dengan bentuk:

dengan syarat:

• $a$ adalah bilangan pokok, dimana $a > 0$ dan $a \neq 1$
• $n$ adalah bilangan real tak nol
• $x$ adalah sebarang bilangan real

Fungsi eksponen memiliki karakteristik khusus dimana nilai variabel $x$ berada pada posisi pangkat. Inilah yang membedakan fungsi eksponen dengan fungsi aljabar biasa. Dalam fungsi eksponen, perubahan kecil pada nilai $x$ dapat menghasilkan perubahan nilai yang sangat besar pada hasil fungsi.

Sifat-Sifat Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen $f(x) = a^x$ (untuk $n = 1$) memiliki beberapa sifat penting:

1. Domain fungsi adalah semua bilangan real ($\mathbb{R}$)
2. Range fungsi adalah semua bilangan positif ($\mathbb{R}^+$)
3. Memotong sumbu Y di titik $(0, 1)$ karena $a^0 = 1$
4. Fungsi selalu positif untuk semua nilai x karena $a > 0$
5. Jika $a > 1$, fungsi akan naik (monoton naik)
6. Jika $0 < a < 1$, fungsi akan turun (monoton turun)

Kasus Khusus Fungsi Eksponen

Ketika a = 1

Jika $a = 1$, maka:

Nilai $1^x$ selalu bernilai 1 untuk sembarang nilai $x$. Akibatnya, fungsi berubah menjadi fungsi konstan $f(x) = n$, bukan lagi fungsi eksponen. Grafiknya akan berupa garis horizontal yang memotong sumbu Y di titik $(0, n)$.

Ketika a = 0

Jika $a = 0$, maka:

• Untuk $x > 0$, nilai $0^x = 0$ sehingga $f(x) = 0$
• Untuk $x = 0$, nilai $0^0$ tidak terdefinisi
• Untuk $x < 0$, nilai $0^x$ tidak terdefinisi

Fungsi ini tidak lagi menjadi fungsi eksponen melainkan konstan di $f(x) = 0$ untuk $x > 0$. Lalu, karena $0^0$ dan $0^x$ untuk $x < 0$ tidak terdefinisi, maka fungsi ini tidak memenuhi definisi fungsi eksponen.

Contoh Fungsi Eksponen

Berikut adalah beberapa contoh fungsi eksponen:

1. $f(x) = 4^x$

   Fungsi ini memiliki bilangan pokok $a = 4$ dan $n = 1$. Karena $a > 1$, fungsi ini monoton naik. Nilai fungsi akan semakin besar saat x bertambah. Misalnya, $f(0) = 4^0 = 1$, $f(1) = 4^1 = 4$, $f(2) = 4^2 = 16$.

2. $f(x) = 3^{x+1}$

   Fungsi ini dapat ditulis ulang sebagai $f(x) = 3 \times 3^x$ dengan bilangan pokok $a = 3$ dan $n = 3$. Grafik fungsi ini juga monoton naik, dan nilai fungsi akan semakin besar saat x bertambah. Misalnya, $f(0) = 3^{0+1} = 3^1 = 3$, $f(1) = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.

3. $f(x) = 5^{2x-1}$

   Fungsi ini memiliki bilangan pokok $a = 5$ dengan pangkat $2x-1$. Nilai fungsi akan berubah lebih cepat karena koefisien x adalah 2. Misalnya, $f(0) = 5^{2(0)-1} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$, $f(1) = 5^{2(1)-1} = 5^1 = 5$.

4. $f(x) = 0.5^x$

   Fungsi ini memiliki bilangan pokok $a = 0.5$ dimana $0 < a < 1$. Fungsi ini monoton turun. Nilai fungsi akan semakin kecil saat x bertambah. Misalnya, $f(0) = 0.5^0 = 1$, $f(1) = 0.5^1 = 0.5$, $f(2) = 0.5^2 = 0.25$.

Aplikasi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan berbagai bidang:

1. Pertumbuhan Populasi: Jumlah bakteri yang berkembang biak dapat dimodelkan dengan fungsi eksponen $P(t) = P_0 \times 2^{t/n}$ dimana $P_0$ adalah jumlah awal, t adalah waktu, dan n adalah waktu yang dibutuhkan untuk populasi bertambah dua kali lipat.

2. Bunga Majemuk: Jika seseorang menabung uang dengan bunga majemuk, jumlah tabungan setelah t tahun dapat dihitung dengan $A(t) = P \times (1 + r)^t$ dimana P adalah modal awal dan r adalah suku bunga.

3. Peluruhan Radioaktif: Jumlah zat radioaktif yang tersisa setelah t tahun dapat dihitung dengan $A(t) = A_0 \times 0.5^{t/h}$ dimana $A_0$ adalah jumlah awal dan h adalah waktu paruh.

4. Penyebaran Virus: Penyebaran penyakit dalam populasi sering kali mengikuti model eksponensial pada fase awal.