Pertumbuhan Eksponen

Definisi Fungsi Pertumbuhan Eksponen

Pertumbuhan eksponen adalah jenis pertumbuhan di mana tingkat perubahan berbanding lurus dengan nilai kuantitasnya. Pada pertumbuhan ini, nilai akan bertambah semakin cepat seiring berjalannya waktu.

Fungsi pertumbuhan eksponen ditulis dengan:

$f(x) = a^x$ dengan $a > 1$

Di mana:

• $a$ adalah basis (konstanta pertumbuhan)
• $x$ adalah variabel (waktu)

Contoh Pertumbuhan Eksponen

Pertumbuhan eksponen sering ditemukan dalam kehidupan nyata, seperti pertumbuhan bakteri yang membelah menjadi dua dalam interval waktu tertentu.

Pertumbuhan Bakteri

Seorang peneliti mengamati pertumbuhan bakteri pada inang dengan kondisi awal 30 bakteri. Bakteri tersebut membelah menjadi dua setiap 30 menit.

Jika $x$ adalah fase pertumbuhan bakteri setiap 30 menit, maka:

Dapat diamati bahwa:

• Untuk $x = 0$, banyak bakteri = 30
• Untuk $x = 1$, banyak bakteri = 60
• Untuk $x = 2$, banyak bakteri = 120 = $2^2 \cdot 30$
• Untuk $x = 3$, banyak bakteri = 240 = $2^3 \cdot 30$
• Untuk $x = 4$, banyak bakteri = 480 = $2^4 \cdot 30$

Dari pola tersebut, pertumbuhan bakteri dapat dimodelkan dengan fungsi eksponen:

Visualisasi Grafik Pertumbuhan Eksponen

Grafik fungsi $f(x) = 30 \cdot (2^x)$ menunjukkan pertumbuhan yang semakin cepat seiring bertambahnya nilai $x$. Ciri khas grafik pertumbuhan eksponen adalah kurvanya yang semakin curam.

Perhitungan Jumlah Bakteri pada Waktu Tertentu

Jika ingin menghitung jumlah bakteri pada jam ke-5, perlu diketahui bahwa jam ke-5 terjadi pada fase ke-10 (karena setiap fase adalah 30 menit):

Jadi, pada jam ke-5 terdapat 30.720 bakteri.

Variasi Nilai Awal

Pertumbuhan eksponen dapat memiliki nilai awal yang berbeda-beda. Secara umum, jika nilai awal adalah $P_0$, maka fungsi pertumbuhan eksponen menjadi:

Misalnya:

• Jika banyak bakteri awal adalah 50, maka $f(x) = 50 \cdot (2^x)$
• Jika banyak bakteri awal adalah 100, maka $f(x) = 100 \cdot (2^x)$
• Jika banyak bakteri awal adalah 200, maka $f(x) = 200 \cdot (2^x)$

Menentukan Nilai Awal

Terkadang kita perlu menentukan nilai awal $x_0$ dari suatu pertumbuhan eksponen jika diketahui nilainya pada waktu tertentu.

Contoh kasus:

Misalkan kita mengetahui bahwa jumlah bakteri pada fase ke-2 adalah 8.000 dan bakteri membelah menjadi dua setiap interval waktu. Berapakah jumlah bakteri awal?

Kita dapat menggunakan persamaan $x_2 = a^2 \cdot x_0$ dengan $a = 2$:

Jadi, banyaknya bakteri mula-mula adalah 2.000 bakteri.

Menghitung Pertumbuhan Jangka Panjang

Untuk menghitung jumlah bakteri setelah waktu yang lebih lama, kita tetap menggunakan model yang sama. Misalnya, untuk menghitung jumlah bakteri setelah 10 jam:

Substitusikan nilai $a = 2$ dan $x_0 = 2.000$:

Jadi, banyaknya bakteri setelah 10 jam adalah 2.048.000 bakteri.

Latihan

1. Bakteri E.coli menyebabkan penyakit diare pada manusia. Seorang peneliti mengamati pertumbuhan 50 bakteri ini pada sepotong makanan dan menemukan bahwa bakteri ini membelah menjadi 2 setiap seperempat jam.

   a. Gambarkanlah tabel dan grafik yang menunjukkan pertumbuhan bakteri ini dari fase 0 sampai fase 5.

   b. Modelkan fungsi yang menggambarkan pertumbuhan bakteri E.coli setiap seperempat jam.

   c. Prediksi berapa banyaknya bakteri setelah 3 dan 4 jam pertama.

2. Pada tahun 2015 kasus positif HIV-AIDS berjumlah sekitar 36 juta jiwa. Jumlah ini meningkat rata-rata 2% setiap tahun dari tahun 2010 hingga 2015. Jika peningkatan kasus positif HIV di tahun-tahun berikutnya diprediksi bertambah secara eksponen pada peningkatan 2% setiap tahun, berapa banyak kasus yang terjadi pada tahun 2020?

Kunci Jawaban

1. Bakteri E.coli dengan jumlah awal 50 bakteri yang membelah menjadi dua setiap 15 menit.

   a. Pertumbuhan Bakteri:

   Fase (15 menit)	0	1	2	3	4	5
   Banyak bakteri	50	100	200	400	800	1.600

   Pertumbuhan Bakteri

   Pertumbuhan bakteri yang membelah menjadi dua setiap 15 menit.

   b. Fungsi pertumbuhan bakteri E.coli dapat dimodelkan dengan:

   $$f(x) = 50 \cdot (2^x)$$

   c. Setelah 3 jam pertama berarti fase ke-12 (bakteri membelah setiap 15 menit):

   $$f(12) = 50 \cdot (2^{12})$$

   $$f(12) = 50 \cdot 4.096$$

   $$f(12) = 204.800$$

   Setelah 4 jam pertama berarti fase ke-16 (bakteri membelah setiap 15 menit):

   $$f(16) = 50 \cdot (2^{16})$$

   $$f(16) = 50 \cdot 65.536$$

   $$f(16) = 3.276.800$$

2. Kasus HIV-AIDS:

   Jumlah kasus pada tahun 2015 adalah 36.000.000 jiwa dengan peningkatan 2% per tahun.

   Model matematika:

   $$f(x) = 36.000.000 \cdot (1 + 0,02)^x$$

   Untuk menghitung kasus pada tahun 2020 (5 tahun setelah 2015):

   $$f(5) = 36.000.000 \cdot (1,02)^5$$

   $$f(5) = 36.000.000 \cdot 1,1040808$$

   $$f(5) = 39.746.908$$

   Jadi, prediksi jumlah kasus HIV-AIDS pada tahun 2020 adalah sekitar 39.746.908 jiwa.

Penerapan Lain Pertumbuhan Eksponen

Pertumbuhan eksponen juga ditemukan dalam konteks lain seperti:

• Bunga majemuk dalam investasi
• Pertumbuhan populasi makhluk hidup
• Peluruhan radioaktif (pertumbuhan negatif)
• Penyebaran penyakit menular

Pertumbuhan eksponen sangat penting dalam berbagai bidang seperti biologi, keuangan, dan fisika karena menggambarkan banyak fenomena di dunia nyata.