Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

Menggabungkan Fungsi

Bayangkan kamu punya dua mesin fungsi, sebut saja mesin $f$ dan mesin $g$. Setiap mesin punya aturan mainnya sendiri, yaitu fungsinya ($f(x)$ dan $g(x)$) dan bahan baku yang bisa diolah (domainnya, $D_f$ dan $D_g$). Nah, kita bisa menggabungkan kedua mesin ini untuk membuat mesin baru dengan operasi penjumlahan atau pengurangan.

Penjumlahan Dua Fungsi

Kalau kita mau menjumlahkan fungsi $f$ dan fungsi $g$, kita tinggal jumlahkan saja hasil dari masing-masing fungsi untuk nilai $x$ yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru yang kita sebut $(f+g)$.

Penting diingat: Mesin gabungan $(f+g)$ hanya bisa mengolah bahan baku (nilai $x$) yang bisa diolah oleh kedua mesin asli, $f$ dan $g$. Jadi, domain (daerah asal) dari fungsi $(f+g)$ adalah irisan (intersection) dari domain $f$ dan domain $g$.

Artinya, $x$ harus merupakan anggota dari $D_f$ DAN juga anggota dari $D_g$.

Contoh Penjumlahan

Misalkan kita punya dua fungsi:

1. $f(x) = x^2$, dengan domain $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).
2. $g(x) = \sqrt{x+2}$, dengan domain $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan -2, karena akar tidak boleh negatif).

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil penjumlahan

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil penjumlahan

Kita cari irisan dari $D_f$ dan $D_g$:

Jadi, fungsi hasil penjumlahannya adalah $(f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x+2}$ dengan domain $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$.

Pengurangan Dua Fungsi

Cara kerjanya mirip dengan penjumlahan. Untuk mengurangkan fungsi $g$ dari fungsi $f$, kita kurangkan hasil $g(x)$ dari $f(x)$ untuk nilai $x$ yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru $(f-g)$.

Domainnya juga sama seperti penjumlahan, yaitu irisan dari domain $f$ dan domain $g$. Kenapa? Karena lagi-lagi, nilai $x$ tersebut harus bisa diolah oleh kedua fungsi awal sebelum bisa dikurangkan.

Contoh Pengurangan

Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh penjumlahan:

1. $f(x) = x^2$, $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
2. $g(x) = \sqrt{x+2}$, $D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil pengurangan

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil pengurangan Domainnya sama dengan domain hasil penjumlahan karena aturan irisannya sama:

Jadi, fungsi hasil pengurangannya adalah $(f-g)(x) = x^2 - \sqrt{x+2}$ dengan domain $\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$.

Latihan Soal

Diketahui fungsi $f(x) = 2x - 1$ dengan $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ dan fungsi $g(x) = x^2 + 3$ dengan $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$.

1. Tentukan $(f+g)(x)$ dan domainnya $D_{f+g}$.
2. Tentukan $(f-g)(x)$ dan domainnya $D_{f-g}$.
3. Hitung nilai $(f+g)(2)$.
4. Hitung nilai $(f-g)(-1)$.

Kunci Jawaban

1. Mencari $(f+g)(x)$:

   $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$

   $$= (2x - 1) + (x^2 + 3)$$

   $$= x^2 + 2x + 2$$

   Mencari Domain $D_{f+g}$:

   $$D_{f+g} = D_f \cap D_g$$

   $$= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}$$

   $$= \{x | x \in \mathbb{R}\}$$

   Jadi, $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$ dengan domain semua bilangan real.

2. Mencari $(f-g)(x)$:

   $$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$$

   $$= (2x - 1) - (x^2 + 3)$$

   $$= 2x - 1 - x^2 - 3$$

   $$= -x^2 + 2x - 4$$

   Mencari Domain $D_{f-g}$:

   $$D_{f-g} = D_f \cap D_g$$

   $$= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}$$

   $$= \{x | x \in \mathbb{R}\}$$

   Jadi, $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$ dengan domain semua bilangan real.

3. Menghitung $(f+g)(2)$:

   Kita gunakan hasil dari nomor 1: $(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$

   $$(f+g)(2) = (2)^2 + 2(2) + 2$$

   $$= 4 + 4 + 2$$

   $$= 10$$

4. Menghitung $(f-g)(-1)$:

   Kita gunakan hasil dari nomor 2: $(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$

   $$(f-g)(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 4$$

   $$= -(1) - 2 - 4$$

   $$= -7$$