Akar Tidak Nyata atau Imajiner

Apa itu Akar Tidak Nyata?

Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ kadang-kadang punya jawaban yang tidak bisa kita temukan di bilangan biasa. Jawaban seperti ini disebut "akar tidak nyata" atau "akar imajiner".

Bayangkan kita sedang mencari angka yang kalau dikali dengan dirinya sendiri hasilnya negatif. Apa ada angka seperti itu? Tidak ada! Karena bilangan apapun kalau dikali dengan dirinya sendiri pasti hasilnya positif atau nol. Inilah yang menjadi awal mula kita mengenal bilangan imajiner.

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mengandung $i$ , di mana $i = \sqrt{-1}$ . Ini berarti $i^2 = -1$ .

Contoh bilangan imajiner:

$3i$ (dibaca: "tiga i")
$2 + 5i$ (dibaca: "dua plus lima i")
$-4i$ (dibaca: "negatif empat i")

Bilangan seperti $2 + 5i$ disebut bilangan kompleks, karena merupakan gabungan dari bilangan real $2$ dan bilangan imajiner $5i$ .

Kapan Persamaan Kuadrat Punya Akar Imajiner?

Persamaan kuadrat punya akar imajiner ketika nilai diskriminannya negatif. Diskriminan adalah $D = b^2 - 4ac$ .

Jika $D < 0$ , maka persamaan kuadrat akan memiliki dua akar imajiner yang berbeda.

Cara Mencari Akar Imajiner

Untuk mencari akar imajiner, kita tetap menggunakan rumus:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Karena $b^2 - 4ac$ bernilai negatif, kita bisa tulis ulang sebagai:

x = \frac{-b \pm \sqrt{-(4ac - b^2)}}{2a}

x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}

Contoh Soal 1

Mari kita cari akar-akar dari persamaan $x^2 + 4x + 5 = 0$ .

Langkah 1: Identifikasi nilai $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$
$b = 4$
$c = 5$

Langkah 2: Hitung diskriminan.

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4

Karena $D = -4 < 0$ , persamaan ini memiliki akar-akar imajiner.

Langkah 3: Gunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat.

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1}

x = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i

Jadi, akar-akar dari persamaan $x^2 + 4x + 5 = 0$ adalah $x_1 = -2 + i$ dan $x_2 = -2 - i$ .

Contoh Soal 2

Tentukan jenis akar-akar dari persamaan $2x^2 + x + 3 = 0$ .

Langkah 1: Identifikasi nilai $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 2$
$b = 1$
$c = 3$

Langkah 2: Hitung diskriminan.

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23

Karena $D = -23 < 0$ , persamaan ini memiliki akar-akar imajiner.

Langkah 3: Cari akar-akar persamaan.

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2 \cdot 2}

x = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{4}

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{23}}{4}$ dan $x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{23}}{4}$ .

Mengapa Akar Imajiner Selalu Berpasangan?

Akar-akar imajiner selalu muncul berpasangan dalam bentuk $a + bi$ dan $a - bi$ . Pasangan ini disebut "konjugat kompleks".

Ini terjadi karena rumus persamaan kuadrat melibatkan $\pm\sqrt{D}$ . Ketika $D < 0$ , kita mendapatkan $\pm i\sqrt{|D|}$ , yang memberikan pasangan konjugat kompleks.

Command Palette